Слободянюк А.И. Физика 10/2.8

Содержание книги

Предыдующая страница

§2. Кинематическое описание механического движения материальной точки

2.8 Равноускоренное движение в пространстве

Полученные выражения для законов равномерного и равноускоренного движения легко обобщаются на случай движения материальной точки в трехмерном пространстве. Положение материальной точки в пространстве описывается либо с помощью трех координат (x,y,z), либо эквивалентным векторным способом посредством задания радиус-вектора точки \(~\vec r\) . При движении эти величины становятся функциями времени. Следовательно, механическое движение материальной точки в общем случае полностью описывается заданием трех функций (x(t), y(t), z(t)), или одной эквивалентной векторной функции \(~\vec r(t)\) . В случае равноускоренного движения вид зависимости скорости от времени \(~\vec V(t)\) непосредственно следует из определения вектора ускорения

\(~\vec V = \vec V_0 + \vec a t \) , (1)

здесь \(~\vec V_0\) - вектор скорости в момент времени t₀ . Формула (1) является обобщением полученного ранее выражения для скорости при движении вдоль прямой. Векторная запись функции (1) эквивалентна развернутой «координатной» записи

\(~\begin{cases} V_x = V_{x0} + a_x t \\ V_y = V_{y0} + a_y t \\ V_z = V_{z0} + a_z t \end{cases}\) , (1a)

где V_x0, V_y0, V_z0 и a_x, a_y, a_z - проекции векторов \(~\vec V_0 , \vec a\) на соответствующие оси координат.

Аналогично можно обобщить зависимость координат материальной точки от времени при равноускоренном движении

\(~\vec r(t) = \vec r_0 + \vec V_0 t + \frac{\vec a t^2}{2}\) , (2)

здесь \(~\vec r_0\) - радиус-вектор точки в момент времени t = 0. Соотношение (2) также можно переписать в координатной форме

\(~\begin{cases} x = x_0 + V_{x0} t + \frac{a_x t^2}{2} \\ y = y_0 + V_{y0} t + \frac{a_y t^2}{2} \\ z = z_0 + V_{z0} t + \frac{a_z t^2}{2} \end{cases}\) , (2a)

где (x₀,y₀,z₀) - координаты точки в момент времени t = 0. Мы не будем отдельно изучать равномерное движение, так как сейчас его можно рассматривать как частный случай движения равноускоренного, но с нулевым ускорением.

В качестве широко известного примера равноускоренного движения рассмотрим движения небольшого тела (которое мы будем считать материальной точкой) в поле тяжести земли, без учета сопротивления воздуха.

Как известно, в этом случае тело движется с постоянным ускорением свободного падения \(~\vec g\) , направленным вертикально вниз. Пусть небольшое тело брошено с начальной скоростью \(~\vec V_0\), направленной под углом α к горизонту, вдоль горизонтальной поверхности. Совместим начало отсчета с точкой бросания.

В этом случае в векторной форме закон движения тела записывается в виде

\(~\vec r = \vec V_0 t + \frac{\vec g t^2}{2}\) . (3)

Векторная форма записи допускает наглядную геометрическую интерпретацию (Рис.18): радиус-вектор тела \(~\vec r\) (отрезок ОВ) в произвольный момент времени t равен сумме векторов \(~\vec V_0 t\) (отрезок ОА) и \(~\frac{\vec g t^2}{2}\) (отрезок АВ). При желании можно воспользоваться геометрическими соотношениями для определения любых характеристик движения. Например, для определения дальности S полета можно записать соотношения между сторонами прямоугольного треугольника OA₁B₁ :

\(~\begin{matrix} S = V_0 t_1 \cos \alpha \\ \frac{g t_1^2}{2} = V_0 t_1 \sin \alpha \end{matrix}\) ,

из которых без труда можно выразить как дальность полета, так и время движения  :

\(~\begin{matrix} t_1 = \frac{2 V_0 \sin \alpha}{g} \\ S = \frac{2 V^2_0 \sin \alpha \cos \alpha}{g} \end{matrix}\) .

Более простым и распространенным способом кинематического описания является координатный. Продемонстрируем преимущества этого метода на примере рассматриваемой задачи. Для этого введем систему декартовых координат, ось X которой направим горизонтально, а ось Y вертикально, начало отсчета совпадает с точкой бросания (рис.19). Векторы начальной скорости \(~\vec V_0\) и ускорения свободного падения лежат в плоскости XOY, поэтому для описания движения достаточно двух координат.

Проекции вектора начальной скорости \(~\vec V_0\) на оси X и Y соответственно равны V₀cos α, V₀sin α, проекция вектора ускорения свободного падения на ось X равна нулю, а на ось Y равна (-g). Перепишем теперь закон движения тела (3) в проекциях на оси координат.

\(~\begin{cases} x = V_0 t \cos \alpha \\ y = V_0 t \sin \alpha - \frac{g t^2}{2}\end{cases}\) . (3a)

Эти уравнения полностью описывают движение тела – из закона движения можно найти любую характеристику движения. Для этого надо уметь «переводить» возникающие вопросы на «язык» координатного описания, что мы сейчас продемонстрируем.

Траектория движения. Строго говоря, уравнения (3а) уже описывают траекторию движения в, так называемой параметрической форме. Тем не менее, получим в явном виде зависимость y(x), для чего достаточно выразить из первого уравнения \(~t = \frac{x}{V_0 \cos \alpha}\) и подставить его во второе:

\(~y = x \operatorname{tg} \alpha - \frac{g}{2 V^2_0 \cos^2 \alpha} x^2\) .

Из вида этой функции явно следует, что траекторией движения является парабола.

Время движения. Когда тело упадет, его координата y станет равной нулю, поэтому время движения t₁ может быть найдено из уравнения y(t₁) = 0:

\(~V_0 t_1 \sin \alpha - \frac{g t_1^2}{2} = 0\) .

Решениями этого квадратного уравнения являются два числа t₁ = 0 и \(~t_1 = \frac{2 V_0 \sin \alpha}{g}\) . Очевидно, что первый корень уравнения соответствует времени бросания, а второй – времени падения.

Дальность полета. Дальность полета – это координата x в момент падения, поэтому

\(~S = x(t_1) = \frac{2 V^2_0 \sin \alpha \cos \alpha}{g}\) .

Максимальная высота подъема. Используя выражение для траектории движения, можно заметить, что траектория движения – симметричная парабола, поэтому высоту подъема можно найти как координату y в момент времени \(~t_2 = \frac{t_1}{2}\) . Но сейчас мы сформулируем общий метод нахождения максимального значения координаты. Если проекция скорости V_y на ось Y положительна, то координата y возрастает, если же V_y отрицательна, то координата убывает, следовательно, максимальное значение координаты достигается тогда, когда соответствующая проекция скорости обращается в нуль!

Запишем выражение для скорости \(~V_y = V_0 \sin \alpha - g t\) . Теперь из уравнения V_y(t₂) = 0 определим момент времени достижения максимальной высоты \(~t_2 = \frac{V_0 \sin \alpha}{g}\) и максимальную высоту \(~h_{max} = y(t_2) = \frac{V^2_0 \sin^2 \alpha}{g}\) .

Примечания

Следующая страница