КС. Графики

Графики при прямолинейном движении

Равномерное движение

• График функции $y = b$ — прямая линия, перпендикулярная оси Y, где b — число.

График проекции скорости от времени (рис. 1) $\upsilon _{x} = const$

• тело 1 движется по оси 0Х (υ_x > 0);
• тело 2 стоит на месте (υ_x = 0);
• тело 3 движется против оси 0Х (υ_x < 0).

Площадь заштрихованной фигуры численно равна пути, который проходит тело 1 за данный промежуток времени Δt = t₁ – 0 = t₁.

Рис. 1

• График функции $y = b + k \cdot x$ — прямая линия, где b — число, k = tg α — это значение проекции скорости для графика проекции перемещения и координаты, α — угол наклона графика к оси 0Х.

График зависимости проекции перемещения от времени (рис. 2) $\Delta r_{x} =\upsilon _{x} \cdot t$

• тело 1 равномерно движется по оси 0Х (Δr_x > 0);
• тело 2 равномерно движется против оси 0Х (Δr_x < 0).

Рис. 2 График зависимости координаты тела от времени (рис. 3) $x=x_{0} +\upsilon _{x} \cdot t$

• тело 1 равномерно движется по оси 0Х (координата x увеличивается);
• тело 2 неподвижно (координата x не изменяется);
• тело 3 равномерно движется против оси 0Х (координата x уменьшается).

Рис. 3

Для графика координаты $x=x_{0} +\upsilon _{0x} \cdot t$ проекция скорости равна $\upsilon _{x} ={\rm tg\; }\alpha =\dfrac{\Delta x}{\Delta t} =\dfrac{x_{2} -x_{1} }{t_{2} -t_{1} } $ (рис. 4), α — угол наклона графика к оси 0t, Δt = t₂ – t₁ — произвольный промежуток времени, x₂ – x₁ — промежуток координат, соответствующий промежутку времени Δt.

• Аналогично для графика проекции перемещения $\Delta r_{x} =\upsilon _{x} \cdot t$ находим проекцию скорости $\upsilon _{x}=\dfrac{\Delta r_{x2} -\Delta r_{x1} }{t_{2} -t_{1}}.$

Рис. 4

Равноускоренное движение

• График функции $y=b$ — прямая линия, перпендикулярная оси Y, где b — число.

График проекции ускорения (рис. 5) $a_{x} =const$

• ускорение тела 1 направлено по оси 0Х (a_x > 0);
• тело 2 движется равномерно (a_x = 0);
• ускорение тела 3 направлено против оси 0Х (a_x < 0).

Рис. 5

• График функции $y=b+k\cdot x$ — прямая линия, где b — число, k = tg α — это значение проекции ускорения для графика проекции скорости, α — угол наклона графика к оси 0Х.

График проекции скорости (рис. 6) $\upsilon _{x} =\upsilon _{0x} +a_{x} \cdot t$

• тело 1 движется по оси 0Х с увеличением скорости (υ_x > 0, значение скорости увеличивается);
• тело 2 до точки А движется по оси 0Х с уменьшением скорости (υ_x > 0, значение скорости уменьшается), после точки А движется против оси 0Х с увеличением скорости (υ_x < 0, значение скорости увеличивается).

$a_{1x} ={\rm tg}\, \alpha =\dfrac{\upsilon _{1} -\upsilon _{0} }{t_{1} -t_{0} } ;\, \, \, a_{2x} ={\rm tg}\, \, \beta =\dfrac{\upsilon _{2} -\upsilon _{0} }{t_{2} -t_{0} } .$

Рис. 6

• Проекция перемещения тела 1 за промежуток времени Δt = t₂ – t₁ численно равна площади заштрихованной трапеции.

Для графика функции $\upsilon _{x} =\upsilon _{0x} +a_{x} \cdot t$ проекция ускорения $a_{x} =tg\, \alpha =\dfrac{\Delta \upsilon _{x} }{\Delta t} =\dfrac{\upsilon _{2x} -\upsilon _{1x} }{t_{2} -t_{1} } $ (рис. 7), где α — угол наклона графика к оси 0t, Δt = t₂ – t₁ — произвольный промежуток времени, Δυ = υ₂ – υ₁ — промежуток скоростей, соответствующий промежутку времени Δt.

Рис. 7

• График функции $y=a+b\cdot x+c\cdot x^{2} $ — парабола, где a, b и c — число. Значение мгновенной скорости на графике проекции перемещения и координаты определяет тангенс угла наклона касательной в данный момент времени.

График зависимости проекции перемещения от времени $\Delta r_{x} =\upsilon _{0x} \cdot t+\dfrac{0_{E} \cdot t^{2} }{2} $ Тела движутся по оси 0Х (рис. 8, касательные изображены пунктирной линией)

• тело 1 движется с увеличением значения скорости с ненулевой начальной скоростью (угол наклона касательной при t = 0 не равен нулю, и в дальнейшем угол наклона касательной увеличивается);
• тело 2 движется с увеличением значения скорости без начальной скорости (угол наклона касательной при t = 0 равен нулю, и в дальнейшем угол наклона касательной увеличивается);
• тело 3 движется с уменьшением значения скорости с ненулевой начальной скоростью (угол наклона касательной при t = 0 не равен нулю, и в дальнейшем угол наклона касательной уменьшается). В точке С тело останавливается, а затем начинает двигаться против оси 0Х с увеличением скорости.

Рис. 8 Тела движутся против оси 0Х (рис. 9)

• тело 4 движется с увеличением значения скорости с ненулевой начальной скоростью (угол наклона касательной при t = 0 не равен нулю, и в дальнейшем угол наклона касательной увеличивается);
• тело 5 движется с увеличением значения скорости без начальной скорости (угол наклона касательной при t = 0 равен нулю, и в дальнейшем угол наклона касательной увеличивается);
• тело 6 движется с уменьшением значения скорости с ненулевой начальной скоростью (угол наклона касательной при t = 0 не равен нулю, и в дальнейшем угол наклона касательной уменьшается). В точке С тело останавливается, а затем начинает двигаться по оси 0Х с увеличением скорости.

Рис. 9 График зависимости координаты тела от времени (рис. 10) $x=x_{0} +\upsilon _{0x} \cdot t+\dfrac{a_{x} \cdot t^{2} }{2} $

Вид графика координаты тела отличается от графика перемещения только смещением по вертикальной оси на x₀. Например, тело 1 движется с увеличением значения скорости с ненулевой начальной скоростью (угол наклона касательной при t = 0 не равен нулю, и в дальнейшем угол наклона касательной увеличивается). Точно также будут двигаться тела 2 и 3, но

• тело 1 начало движение из точки x₀ = 0;
• тело 2 начало движение из точки x₀ > 0;
• тело 3 начало движение из точки x₀ < 0.

Рис. 10

• Аналогично будет меняться вид графика и для всех остальных тел (см. рис. 8, 9).

Обратите внимание, что:

• мгновенная скорость υ_х в вершине параболы графика Δr_x(t) или x(t) (например, точка С на рис. 8 и 9) равна нулю;
• если тело вначале двигалось по оси 0Х (υ_x > 0), а затем против оси (υ_x < 0), то парабола расположена ветвями вниз (парабола 3 на рис. 8);
• если тело вначале двигалось против оси 0Х (υ_x < 0), а затем по оси (υ_x > 0), то парабола расположена ветвями вверх (парабола 6 на рис. 9).

Геометрический смысл мгновенной скорости (как производной координаты x): значение проекции мгновенной скорости υ_х в точке С графика x(t) равно тангенсу угла наклона α касательной к графику в точке С (рис. 11, а).

Точно построить касательную к параболе в произвольной точке С не совсем просто, а тем более затем еще определить угол ее наклона. Поэтому вместо касательной используют такую секущую АВ , что точка С лежит посередине между точками А и В (t₃ – t₁ = t₁ – t₂) (рис. 11, б). Тогда

• проекция мгновенной скорости в точке С равна $\upsilon _{x} =tg\, \beta =\dfrac{\Delta x}{\Delta t} =\dfrac{x_{3} -x_{2} }{t_{3} -t_{2} } ,$ где β — угол наклона секущей AB, Δt = t₃ – t₂ — промежуток времени, Δx = x₃ – x₂ — промежуток координат, соответствующий промежутку времени Δt.
• Чем меньше длина секущей АВ, тем ближе значение угла β к значению угла α, т.е. точнее значение мгновенной скорости.

• 

  а
• 

  б

Рис. 11

• Аналогично для графика проекции перемещения Δr_x(t) находим проекцию мгновенной скорости $\upsilon _{x} =\dfrac{\Delta r_{x2} -\Delta r_{x1}}{t_{2} -t_{1} } .$

План построения графиков

1. Проанализируйте функцию.
2. Постройте таблицу значений данной функции и заполните ее.
3. Постройте систему координат, выберите масштаб.
4. Отметьте полученные точки и соедините их плавной линией.

Правила построения графиков

1. Графики строят на бумаге с миллиметровой или другой специальной сеткой. Размер бумаги определяется интервалом изменения измеряемых величин и выбранным для них масштабом (но не наоборот!).
2. По оси ординат (вертикальной) откладывают значения функции, по оси абсцисс (горизонтальной) — аргумента.
3. На каждой из осей приводят только тот интервал изменения соответствующей физической величины, в котором велось исследование. Совсем не обязательно, чтобы на графике помещалось начало координат, т.е. точка (0, 0). На осях указывают обозначения и через запятую единицы соответствующих физических величин. Обозначения не следует наносить на поле, отведенное для графика. В случае очень больших или очень малых величин множители, определяющие порядок чисел, рекомендуется учитывать при обозначении.
4. Масштаб графика выбирают не произвольно и не по размеру имеющегося кусочка миллиметровой бумаги. Он определяется абсолютными погрешностями тех величин, которые откладываются по осям. Погрешность каждой из величин должна представляться в выбранном масштабе отрезком заметной длины. Масштабы по каждой из осей выбирают независимо друг от друга. Оптимальным по точности для обеих осей одновременно будет наклон основной части кривой под углом, близким к 45°.
5. Точки на график обводят кружком, при нескольких кривых используются различные фигуры: треугольники, квадратики и т.п.
6. Кривую по нанесенным точкам проводят от руки плавно, без изломов и перегибов, а прямую — с помощью линейки. Линия графика не должна маскировать точек, поэтому она внутри фигурок, окружающих точки, не проводится.
7. Любая особенность (максимум, минимум, перегиб, излом, резкое изменение кривизны и т.п.) на графике должна быть тщательно обоснована. В соответствующей области необходима большая густота экспериментальных точек, т.к. при малой густоте точек правильно провести график невозможно.
8. Если на одном графике строят несколько кривых, то для их разделения используют различные линии: сплошные, пунктирные и т. д. Можно использовать различные цвета, цифровые, буквенные или другие обозначения.

Литература

Кембровский Г.С. Приближенные вычисления, методы обработки результатов изме-рений и оценки погрешностей в физике. — Мн.: ООО «Оракул», 1997. — С. 104-108.