КС. Закон сохранения энергии

Механическая работа. Мощность

\(A = F \cdot \Delta r \cdot \cos \alpha\) ,

где А – работа (Дж); F – сила (Н); Δr – перемещение тела (м); α – угол между вектором силы и вектором перемещения (рис. 1).

• Данную формулу можно применять, если сила постоянна.

• 

  а. А > 0 , 0° ≤ α < 90° угол острый
• 

  б. А = 0 , α = 90° угол прямой
• 

  в. А < 0 , 90° < α ≤ 180° угол тупой

Рис. 1 A_тр = -F_тр·Δr ,

где A_тр – работа силы трения (Дж); F_тр – сила трения (Н); Δr – перемещение тела (м).

• Работа силы трения отрицательная, т.к. сила трения и относительное перемещение тела направлены в противоположные стороны.

\(~P = \frac{A}{\Delta t}\) ,

где Р – мощность прибора (Вт); А – механическая работа, совершенная данным прибором (Дж); Δt – время, за которое совершена работа (с).

\(~\eta = \frac{A_p}{A_z}\) или \(~\eta = \frac{A_p}{A_z} \cdot 100%\) ,

где η – коэффициент полезного действия (КПД) (%); А_p – полезная работа (Дж); А_z – затраченная работа (Дж).

• Полезная работа – это работа, которую совершает механизм над телом,
• затраченная работа – это работа двигателя или энергия (тепловая, электроэнергия и т.п.), которую механизм израсходует (получает).

Графический способ определения механической работы

Пусть задан график зависимости проекции силы F_x от координаты х. Тогда работа при перемещении тела из точки с координатой x₁ в точку с координатой x₂ численно равна по величине площади фигуры, ограниченной графиком F_x(х), осью 0Х и перпендикулярами к x₁ и x₂ (рис. 2).

Рис. 2

• При перемещении тела из точки с координатой x₂ в точку с координатой x₁ площадь фигуры и, следовательно, работу будем считать отрицательной.
• Если разные участки тела поднимают на разные высоты, то изменение потенциальной энергии можно рассчитать для центра тяжести тела.
• Центр тяжести стержня находится в середине стержня; прямоугольника – на пересечении диагоналей; шара, обруча – в центре сферы, окружности.

Механическая энергия

Кинетическая энергия тела

\(~E_k = \frac{m \cdot \upsilon^2}{2}\) ,

где E_k – кинетическая энергия тела (Дж); m – масса тела (кг); υ – скорость тела (м/с).

Теорема об изменении кинетической энергии

\(~A = \Delta E_k\) ,

где A – механическая работа силы, действующей на тело (Дж); \(~\Delta E_k = \frac{m \cdot \upsilon^2}{2} - \frac{m \cdot \upsilon^2_0}{2}\) – изменение кинетической энергии тела (Дж); m – масса тела (кг); υ и υ₀ – конечная и начальная скорости тела (м/с).

Потенциальная энергия взаимодействия тела и Земли

\(~E_p = m \cdot g \cdot h\) ,

где E_p – потенциальная энергия тела (взаимодействия тела и Земли) (Дж); m – масса тела (кг); g – ускорение свободного падения, у поверхности Земли равна 9,8 м/с² ≈ 10 м/с²; h – высота тела над нулевой высотой (м).

• За нулевую высоту (уровень), по умолчанию, принято считать поверхность земли.

\(~A = -\Delta E_p\) ,

где A – работа консервативных сил (силы тяжести) (Дж); ΔE_p = mgh – mgh₀ – изменение потенциальной энергии тела (взаимодействия тела и Земли) (Дж); m – масса тела (кг); g – ускорение свободного падения, у поверхности Земли равна 9,8 м/с² ≈ 10 м/с²; h и h₀ – конечная и начальная высоты тела над нулевой высотой (м).

• За нулевую высоту (уровень), по умолчанию, принято считать поверхность земли.

Потенциальная энергия деформированной пружины

\(~E_p = \frac{k \cdot \Delta l^2}{2}\) ,

где E_p – потенциальная энергия деформированной пружины (Дж); k – коэффициент жесткости пружины (Н/м); Δl = |l – l₀| – абсолютное удлинение (удлинение) пружины (м); l и l₀ – конечная и начальная длины пружины (м).

\(~A = -\Delta E_p\) ,

где A – работа консервативных сил (силы упругости) (Дж); \(~\Delta E_p = \frac{k \cdot \Delta l^2}{2} - \frac{k \cdot \Delta l^2_0}{2}\) – изменение потенциальной энергии пружины (Дж); k – коэффициент жесткости пружины (Н/м); Δl и Δl₀ – конечное и начальное абсолютные удлинения (конечное и начальное удлинения) пружины (м).

• По умолчанию считаем, что пружина вначале не деформирована, т.е. Δl₀ = 0.

Закон сохранения энергии

E = E_{p т} + E_{p у} + E_k ,

где E – полная механическая энергия тела (Дж); E_{p т} – потенциальная энергия взаимодействия тела и земли (Дж); E_{p у} – потенциальная энергия деформированной пружины (Дж); E_k – кинетическая энергия тела (Дж).

Задачи на применение закона сохранения энергии решайте, придерживаясь следующего плана:

1. Сделайте схематический чертеж. Материальную точку изобразите в виде прямоугольника (или окружности). Укажите начальное и конечное положение тела, его скорость, нулевую высоту отсчета потенциальной энергии взаимодействия тела с землей.
2. Запишите формулы для расчета полной механической энергии тела в начальном и конечном состоянии:

   E₀ = E_{p т0} + E_{p у0} + E_k0 ,

   E = E_{p т} + E_{p у} + E_k .

3. Если система замкнута, запишите закон сохранения механической энергии для данного случая:

   E₀ = E .

4. Решите полученное уравнение. При необходимости выразите энергии через величины от которых они зависят.

• Индексы скоростей, высот, длин на рисунке должны соответствовать индексам скоростей, высот, длин в условии.

Закон об изменении механической энергии

• Закон об изменении механической энергии.

Работа внешних сил A_вн = ΔE = Е – E₀, где Е и E₀ – полные механические энергии системы в конечном и начальном состояниях соответственно.

Столкновение тел

При абсолютно неупругом ударе сохраняется только импульс, кинетическая энергия не сохраняется. Часть механической энергии при абсолютно неупругом ударе переходит во внутреннюю энергию, т.е. E₀ – Е = Q.

При абсолютно упругом ударе сохраняется и импульс и механическая (кинетическая) энергия.