Решение. Уравнения движения. B9

Условие

B9. Дано одно из трех уравнений (или проекции скорости, или проекции перемещения, или координаты) для разных тел. По этому уравнению определите начальные координаты, проекции начальных скоростей и ускорений и допишите остальные два уравнения:

а) υ_x = 5t – 8, x₀ = – 60;

б) Δr_x = 10t², x₀ = –40;

в) x = –300;

г) υ_x = –5, x₀ = 10;

д) Δr_x = –5t, x₀ = 20;

е) x = (5 – 2t)².

Решение

Уравнение проекции скорости \(~\upsilon_x = \upsilon_{0x} + a_x \cdot t\) ; проекции перемещения \(~\Delta r_x = \upsilon_{0x} \cdot t + \frac{a_x \cdot t^2}{2}\) ; координаты \(~x = x_0 + \upsilon_{0x} \cdot t + \frac{a_x \cdot t^2}{2}\) .

а) Даны уравнение проекции скорости и начальная координата. Проекция начальной скорости υ_0x – величина, стоящая в уравнении проекции скорости без t, поэтому υ_0x = –8 м/с. Проекция ускорения a_x – величина, стоящая при t, a_x = 5 м/с². Тогда

уравнение проекции перемещения Δr_x = –8∙t + 2,5∙t²;

уравнение координаты x = –60 – 8∙t + 2,5∙t².

б) Даны уравнение проекции перемещения и начальная координата. Проекция начальной скорости υ_0x – величина, стоящая в уравнении проекции перемещения при t, поэтому υ_0x = 0. Проекция ускорения a_x – величина, стоящая при \(~\frac{t^2}{2}\) , или удвоенная величина, стоящая при t², a_x = 20 м/с². Тогда

уравнение проекции скорости υ_x = 20∙t;

уравнение координаты x = –40 +10∙t².

в) Дано уравнение координаты. Начальная координата x₀ – величина, стоящая в уравнении движения без t, поэтому x₀ = –300 м. Проекция начальной скорости υ_0x – величина, стоящая в уравнении проекции перемещения при t, υ_0x = 0. Проекция ускорения a_x – величина, стоящая при \(~\frac{t^2}{2}\) , или удвоенная величина, стоящая при t², a_x = 0. Тогда

уравнение проекции скорости υ_x = 0;

уравнение проекции перемещения Δr_x = 0.

г) Даны уравнение проекции скорости и начальная координата. Проекция начальной скорости υ_0x – величина, стоящая в уравнении проекции скорости без t, поэтому υ_0x = –5 м/с. Проекция ускорения a_x – величина, стоящая при t, a_x = 0. Тогда

уравнение проекции перемещения Δr_x = –5∙t;

уравнение координаты x = 10 – 5∙t.

д) Даны уравнение проекции перемещения и начальная координата. Проекция начальной скорости υ_0x – величина, стоящая в уравнении проекции перемещения при t, поэтому υ_0x = –5 м/с. Проекция ускорения a_x – величина, стоящая при \(~\frac{t^2}{2}\) , или удвоенная величина, стоящая при t², a_x = 0. Тогда

уравнение проекции скорости υ_x = –5;

уравнение координаты x = 20 – 5∙t.

е) Дано уравнение координаты. Перепишем его в стандартный вид\[~x = (5 - 2t)^2 = 25 - 20t + 4t^2\].

Начальная координата x₀ – величина, стоящая в уравнении движения без t, поэтому x₀ = 25 м. Проекция начальной скорости υ_0x – величина, стоящая в уравнении проекции перемещения при t, υ_0x = –20 м/с. Проекция ускорения a_x – величина, стоящая при \(~\frac{t^2}{2}\) , или удвоенная величина, стоящая при t², a_x = 8 м/с2. Тогда

уравнение проекции скорости υ_x = –20 + 8∙t;

уравнение проекции перемещения Δr_x = –20∙t + 4∙t².