Просмотр исходного текста страницы Слободянюк А.И. Физика 10/17.3

У вас нет прав на редактирование этой страницы по следующей причине:

---

Вы можете просмотреть и скопировать исходный текст этой страницы.

__NOTOC__ <p style="text-align:center"> [[Слободянюк А.И. Физика 10|'''Содержание книги''']] </p> <p style="text-align:left"> [[Слободянюк А.И. Физика 10/17.2|'''Предыдующая страница''']]</p> == §17. Механические колебания == === 17.3 Простейшие колебательные системы. === Если система обладает одной степенью свободы и в ней возможны гармонические колебания, то такая система называется '''гармоническим осциллятором'''<ref>В переводе с латинского – осцилляции означают колебания.</ref>. Рассмотрим несколько примеров таких механических систем, которые также называют маятниками. ==== 17.3.1 Пружинный маятник. ==== [[Изображение:Img_Slob-10-17-196.jpg|center]] Рассмотрим движение небольшого бруска массой ''m'', расположенного на гладкой горизонтальной поверхности и прикрепленного к неподвижному упору с помощью легкой пружины жесткости ''k'' (Рис. 196). Положение бруска будем описывать с помощью декартовой координаты ''x'', начало отсчета которой совместим с положением, в котором пружина не деформирована. При отклонении бруска от положения равновесия на него будет действовать сила упругости пружины <math>~\vec F</math>, направленная к положению равновесия, ее модуль определяется законом Гука <math>F = kx</math>. На основании второго закона Ньютона и, пренебрегая трением, запишем уравнение, описывающее движение бруска <center><math>~ma = -kx</math> . (1)</center> Из этого уравнения следует, что ускорение бруска зависит от его координаты <center><math>~a = -\frac{k}{m} x</math> , (2)</center> то есть пропорционально координате с отрицательным коэффициентом пропорциональности. Сравнивая с полученным [[Слободянюк А.И. Физика 10/17.2|ранее]] кинематическим уравнением, связывающим ускорение тела с его координатой <center><math>~a = -\omega^2 x</math> , (3)</center> мы убеждаемся в их полной тождественности. На основании этого мы делаем обоснованный вывод: '''в рассматриваемой системе брусок совершает гармонические колебания''' <math>x = A \cos (\omega t + \varphi_0)</math>. Частота этих колебаний '''не зависит от их амплитуды''' и легко находится из сравнения уравнений (2) и (3), идентичность которых требует выполнения условия <math>~\omega^2 = \frac{k}{m}</math>, или <center><math>~\omega = \sqrt{\frac{k}{m}} ; \nu = \frac{1}{2\pi} \sqrt{\frac{k}{m}}</math> . (4)</center> Период колебаний бруска равен <center><math>~T = \frac{2\pi}{\omega} = 2 \pi \sqrt{\frac{m}{k}}</math> .</center> Полученные формулы для частоты и периода колебаний качественно легко объяснимы: частота колебаний возрастает с ростом жесткости пружины и убывает при возрастании массы груза. Колебания, возникающие под действием внутренних возвращающих консервативных сил, называются '''свободными'''. Подчеркнем, сейчас мы получили уравнение (2) на основании законов динамики, его совпадение с рассмотренным ранее кинематическим уравнением (3) заранее не предполагалось, это можно даже назвать «счастливым совпадением». Закон движения бруска однозначно определяется при задании начальных условий. Зависимость параметров закона движения от начальных условий была рассмотрена нами ранее, поэтому здесь укажем только два крайних случая начальных условий. Если мы отклоним брусок от положения равновесия на расстояние ''A'' и отпустим его без толчка (начальные условия: при ''t'' = 0 ''x''₀ = ''A'', ''υ''₀ = 0), то закон движения будет иметь вид <center><math>~x = A \cos \omega t</math> . (5)</center> В другом предельном случае, когда бруску резким толчком сообщают начальную скорость (начальные условия: при ''t'' = 0 ''x''₀ = 0, ''υ'' = ''υ''₀), закон движения будет несколько иным <center><math>~x = \frac{\upsilon_0}{\omega} \sin \omega t</math> . (6)</center> [[Изображение:Img_Slob-10-17-197.jpg|center]] Рассмотрим теперь описание движения небольшого шарика массой ''m'', подвешенного на легкой пружине жесткостью ''k'' (Рис. 197). Направим ось ''Ox'' вертикально вниз, начало отсчета совместим с положением недеформированной пружины. В процессе движения на шарик действуют сила тяжести <math>~m \vec g</math> и сила упругости <math>~\vec F_{ynp}</math>, модуль которой определяется законом Гука <math>F_{ynp} = kx</math>. Уравнение второго закона Ньютона в проекции на введенную ось имеет вид <center><math>~ma = mg - kx</math> . (7)</center> Так как сила упругости зависит от координаты шарика (следовательно, не постоянна), то движение шарика не будет равноускоренным. Понятно, что движение шарика будет колебательным, но, на первый взгляд, уравнение его движения (7) отличается от рассмотренного нами уравнения гармонических колебаний – присутствует постоянная составляющая ''mg''. Преобразуем уравнение (7) <center><math>~ma = -k \left(x - \frac{mg}{k} \right)</math> . (8)</center> Появившаяся в уравнении величина <math>~x_0 = \frac{mg}{k}</math> имеет наглядный смысл: она указывает положение равновесия шарика, в котором сила тяжести уравновешивается силой упругости <math>mg = kx_0</math>. Теперь мы можем сместить начало отсчета оси координат, совместив его с положением равновесия. В этой измененной системе отсчета координата шарика равна <math>x_1 = x - x_0</math>, ускорение шарика и в новой системе отсчета остается прежним <math>a_1 = a</math>. Поэтому уравнение движения шарика в этой системе отсчета имеет вид, полностью совпадающий с уравнением гармонических колебаний <center><math>~ma_1 = -kx_1</math> , (9)</center> с частотой <math>~\omega = \sqrt{\frac{k}{m}}</math>. Таким образом, постоянная сила, действующая в колебательной системе, не изменяет частоты колебания, а только смещает положение равновесия. Полное решение уравнения движения (9) нам известно, поэтому можно также записать и полное решение уравнения (7) в исходной системе отсчета <center><math>~x = \frac{mg}{k} + A \cos \omega t + B \sin \omega t</math> , (10)</center> в котором произвольные постоянные ''A'', ''B'' определяются из начальных условий. Еще одним общим методом получения уравнения движения является использование закона сохранения энергии. Рассмотрим превращения энергии в ходе колебаний бруска на гладкой горизонтальной поверхности (Рис. 196). Для того чтобы вывести брусок из положения равновесия к нему необходимо приложить внешнюю силу. Эта сила должна совершить положительную работу, тем самым, сообщая системе энергию. Эта энергия «запасается» в виде потенциальной энергии деформированной пружины и равна <math>~U_0 = \frac{k x^2_0}{2}</math>. Если брусок еще и дополнительно толкнуть, то система получит дополнительную энергию в форме кинетической энергии бруска <math>~E_{kin0} = \frac{m \upsilon^2_0}{2}</math>. В процессе движения бруска происходят постоянные переходы энергии из потенциальной в кинетическую (когда брусок движется к положению равновесия – сила упругости совершает положительную работу, поэтому кинетическая энергия возрастает) и обратно - из кинетической в потенциальную (когда брусок удаляется от положения равновесия – работа силы упругости отрицательна, поэтому кинетическая энергия убывает). Пренебрегая трением, закон сохранения механической энергии выражается уравнением <center><math>~\frac{m \upsilon^2}{2} + \frac{k x^2}{2} = E</math> , (11)</center> в котором сумма кинетической энергии бруска и потенциальной энергии деформированной пружины остается постоянной величиной, которая легко выражается через начальные условия <math>~E_0 \frac{m \upsilon^2_0}{2} + \frac{k x^2_0}{2}</math> . В уравнении (11) неизвестной является зависимость координаты от времени ''x''(''t''), скорость движения является производной от координаты по времени ''υ''(''t'') = ''x''′(''t''). Таким образом, с математической точки зрения уравнение (11) содержит неизвестную функцию и ее производную. Подставим в это уравнение закон движения, найденный нами из динамического уравнения (1): <center><math>~x(t) = x_0 \cos \omega t + \frac{\upsilon_0}{\omega} \sin \omega t</math> . (12)</center> Зависимость скорости от времени описывается в этом случае функцией <center><math>~\upsilon(t) = -x_0 \omega \sin \omega t + \upsilon_0 \cos \omega t</math> . (13)</center> Не сложно убедится, что эти функции при подстановке в уравнение (11) превращают его в верное тождество (конечно, при <math>~\omega = \sqrt{\frac{k}{m}}</math>), следовательно, функция (12) является решением этого уравнения. Таким образом, уравнение (12) также является уравнением гармонических колебаний, оно полностью эквивалентно (равносильно) уравнению (1). Для доказательства этого утверждения достаточно взять производную по времени от уравнения (11): <center><math>~\frac{m}{2} 2 \upsilon \upsilon' + \frac{k}{2} 2 x x' = 0</math> ,</center> при выводе учтено, что производная от постоянной энергии равна нулю; учитывая, что производная от координаты равна скорости ''x''′ = ''υ'', а производная от координаты есть ускорение ''υ''′ = ''a'', получаем после сокращения уравнение (1) <math>ma + kx = 0</math>. Можно также провести и обратный математический переход от уравнения (1) к уравнению (11). Интересно отметить, что решение уравнения (11) можно найти «по теореме Пифагора». Действительно, предположим, что его решением является функция, изменяющаяся по «закону косинуса»; <math>x(t) = A \cos \omega t</math> , тогда скорость будет изменяться «по закону синуса»: <math>\upsilon = -\omega A \sin \omega t</math>. По известному основному тригонометрическому тождеству сумма квадратов синуса и косинуса равна единице, следовательно, можно подобрать такое значение параметра ''ω'', чтобы уравнение (11) приводило к этому тождеству. Подставляя записанные выражения для зависимостей координаты и скорости от времени в уравнение (11), получим <center><math>~\frac{m}{2} (-\omega A \sin \omega t)^2 + \frac{k}{2} (A \cos \omega t)^2 = E</math> ,</center> после очевидного преобразования <center><math>~\frac{kA^2}{2} \left(\cos^2 \omega t + \frac{m \omega^2}{k} \sin^2 \omega t \right) = E</math> .</center> Чтобы это уравнение превратилось в тождество необходимо, чтобы выполнялось условие <math>~\frac{m \omega^2}{k} = 1</math> , из которого следует известная формула для периода колебаний. Амплитуда колебаний A выражается через полную энергию системы. Подведем основной итог: если на основании физических законов (главным образом закона сохранения энергии) удалось показать, что некоторая переменная величина ''X''(''t'') и ее производная ''V''(''t'') = ''X''′(''t'') связаны соотношением {| class="standard" border=1 width=100% |<center><math>~V^2 + \omega^2 X^2 = \operatorname{const}</math> , (14)</center> |} то величина ''X'' изменяется по гармоническому закону, с круговой частотой ''ω''. ==== 17.3.2 Математический маятник. ==== [[Изображение:Img_Slob-10-17-198.jpg|center]] Небольшой шарик, подвешенный на легкой нерастяжимой нити, способен совершать '''свободное''' колебательное движение (Рис. 198). Для описания движения маятника будем считать шарик материальной точкой, пренебрежем массой нити и сопротивлением воздуха. Такая модель называется '''математическим маятником'''. В качестве координаты, описывающей положение шарика, выберем угол отклонения нити от вертикали ''φ''. Для описания изменения этой координаты удобно использовать уравнение динамики вращательного движения <center><math>~J \varepsilon = M</math> , (1)</center> где <math>J = ml^2</math> - момент инерции системы, <math>~\varepsilon = \frac{\Delta \omega}{\Delta t}</math> - угловое ускорение тела (вторая производная от угла поворота), ''M'' - суммарный момент внешних сил действующих на систему<ref>В принципе, можно использовать и уравнения динамики поступательного движения, но используемый здесь подход является предпочтительным, так как траекторией движения точки является дуга окружности.</ref>. На шарик действуют силы тяжести ''mg'' и натяжения нити. Момент силы натяжения нити относительно точки подвеса равен нулю, поэтому уравнение (1) для подвешенного шарика приобретает вид <center><math>~ml^2 \varepsilon = -mgl \sin \varphi</math> , (2)</center> или <center><math>~\varepsilon = -\frac{g}{l} \sin \varphi</math> . (3)</center> Это уравнение описывает колебания маятника, но не является уравнением гармонических колебаний, так как момент сил пропорционален синусу угла отклонения, а не самому углу. Однако, если считать углы отклонения малыми (сколько это – мы выясним позднее), можно воспользоваться приближенной формулой <math>\sin \varphi \approx \varphi</math> в этом приближении уравнение (3) превращается в знакомое уравнение гармонических колебаний <center><math>~\varepsilon = -\Omega^2 \sin \varphi</math> , (4)</center> где <math>~\Omega = \sqrt{\frac{g}{l}}</math> - круговая частота малых колебаний маятника<ref>Мы выбрали обозначение ''Ω'' (это тоже «омега», только заглавная) для собственной частоты малых колебаний, чтобы традиционное обозначение ''ω'' - оставить за угловой скоростью движения шарика, которая далее будет фигурировать в наших рассуждениях.</ref>. Решение этого уравнения мы уже выписывали <center><math>~\varphi = \varphi_0 \cos \Omega t</math> , (5)</center> здесь ''φ''₀ - максимальное отклонение нити, то есть амплитуда колебаний. Для простоты будем считать, что начальная скорость шарика равна нулю. Период малых колебаний маятника выражается через круговую частоту <center><math>~T = \frac{2 \pi}{\Omega} = 2 \pi \sqrt{\frac{l}{g}}</math> . (6)</center> Так как малые колебания математического маятника являются гармоническими, то их период не зависят от амплитуды. Этот факт был экспериментально отмечен еще Г. Галилеем. При больших углах отклонения период колебаний математического маятника незначительно возрастает. Отметим, что период колебаний математического маятника не зависит также от массы шарика – вспомните, ускорение свободного падения, а также другие характеристики движения тела в поле тяжести Земли также не зависят от массы тела (если, конечно, пренебрегать сопротивлением воздуха). Формула (6) может быть использована и используется для экспериментального определения ускорения свободного падения. Длина нити и период колебаний достаточно просто измерить экспериментально, затем с помощью формулы (6) можно рассчитать ускорение свободного падения. Попробуем описать движение математического маятника с помощью закона сохранения механической энергии. Кинетическая энергия шарика выражается формулой <math>~E_{kin} = \frac{J \omega^2}{2} = \frac{m l^2 \omega^2}{2}</math>. Нулевой уровень отсчета потенциальной энергии совместим с точкой подвеса нити, тогда потенциальная энергия шарика равна <math>U = −mgl \cos \varphi</math>. Уравнения закона сохранения механической энергии (с учетом начальных условий) имеет вид <center><math>~\frac{m l^2 \omega^2}{2} - mgl \cos \varphi = -mgl \cos \varphi_0</math> . (7)</center> Это уравнение также не является уравнением гармонических колебаний. Но, если мы опять будем считать углы отклонения маятника малыми и воспользуемся приближенной формулой <math>~\cos \varphi \approx 1 - \frac{\varphi^2}{2}</math>, то уравнение (7) перейдет в уравнение гармонических колебаний <center><math>~\frac{m l^2 \omega^2}{2} + \frac{mgl \varphi^2}{2} = \frac{mgl \varphi^2_0}{2}</math> ,</center> или <center><math>~\frac{\omega^2}{2} + \frac{\Omega^2 \varphi^2}{2} = \frac{\Omega^2 \varphi^2_0}{2}</math> , (8)</center> где обозначено <math>~\Omega = \sqrt{\frac{g}{l}}</math> - круговая частота колебаний, совпадающая с полученной из динамического уравнения (2). Конечно, такое совпадение не является случайным – фактически в обоих подходах мы использовали одно и то же приближение малых углов отклонения. ==== 17.3.3 Математический маятник с пружиной. ==== [[Изображение:Img_Slob-10-17-199.jpg|center]] Рассмотрим еще один пример колебательной системы, являющейся «гибридом» математического и пружинного маятника (Рис. 199): к шарику, подвешенному на нити длиной ''l'', прикреплена легкая пружина так, что в положении равновесия нить маятника располагается вертикально (в этом случае пружина не деформирована). По-прежнему, положение маятника будем описывать с помощью угла отклонения ''φ'', который будем считать малым. Уравнение динамики вращательного движения относительно точки подвеса для шарика будет иметь вид <center><math>~J \varepsilon = - mgl \sin \varphi - F_{ynp} l \cos \varphi</math> , (1)</center> где <math>J = ml^2</math> - момент инерции маятника, ''ε'' - угловое ускорение, <math>mgl \sin \varphi</math> - момент силы тяжести, <math>F_{ynp} l \cos \varphi</math> - момент силы упругости. Считая угол отклонения малым, удлинение пружины можно представить в виде <math>\Delta x = l \varphi</math> и при этом можно считать, что ось пружины все время остается горизонтальной. В этом же приближении можно положить <math>\sin \varphi \approx \varphi</math> , <math>\cos \varphi \approx 1</math>. Поэтому уравнение (1) упрощается <center><math>~ml^2 \varepsilon = - mgl \varphi - kl \varphi \cdot l</math> ,</center> или <center><math>~\varepsilon = -\left(\frac{g}{l} + \frac{k}{m} \right) \varphi</math> . (2)</center> Это уравнение является уравнением гармонических колебаний: ускорение пропорционально смещения от положения равновесия. Круговая частота этих колебаний равна <center><math>~\Omega = -\sqrt{\frac{g}{l} + \frac{k}{m}}</math> . (3)</center> ==== 17.3.4 Колебание жидкости в трубке. ==== [[Изображение:Img_Slob-10-17-200.jpg|center]] Рассмотрим еще один пример колебательной системы. Пусть в вертикальной U-образной трубке находится вода (Рис. 200). В состоянии равновесия верхний уровень воды расположен на высоте ''l''. Воду вывели из положения равновесия и она совершать колебания, переливаясь из одного колена трубки в другое. Для определения частоты (или периода) этих колебаний воспользуемся законом сохранения энергии. В качестве координаты, характеризующей положение воды, выберем величину ''x'' - отклонение уровня воды в одном колене от положения равновесия. Если площадь поперечного сечения трубки ''S'' постоянна по ее длине, то скорость течения жидкости будет одинакова и равна производной от введенной координаты <math>~\upsilon = \frac{\Delta x}{\Delta t}</math>. Следовательно, кинетическая энергия движущейся жидкости равна <center><math>~E_{kin} = \frac{m \upsilon^2}{2} = 2\rho Sl \frac{\upsilon^2}{2}</math> , (1)</center> где ''ρ'' - плотность воды, 2''Sl'' - ее объем (пренебрегая жидкостью, находящейся в нижней части трубки, которую будем считать малой). Для расчета потенциальной энергии, вспомним, что потенциальная энергия тела в поле тяжести земли равна произведению массы тела, ускорения свободного падения и высоты центра масс, поэтому в рассматриваемом случае <center><math>~U = \rho g S (l+x) \frac{l+x}{2} + \rho g S (l-x) \frac{l-x}{2} = \rho g S (l^2 + x^2)</math> , (2)</center> где первое слагаемое равно потенциальной энергии жидкости в левом колене трубки, второе – в правом. Если пренебречь неизбежными потерями механической энергии из-за сил вязкого трения, то сумма кинетической и потенциальной энергии жидкости постоянна, поэтому <center><math>~\rho Sl \upsilon^2 + \rho g S (l^2 + x^2) = \operatorname{const}</math> .</center> Из этого уравнения следует, что движение жидкости подчиняется уравнению гармонических колебаний <center><math>~\upsilon^2 + \frac{g}{l} x^2 = \operatorname{const}</math> , (3)</center> с круговой частотой <math>~\omega = \sqrt{\frac{g}{l}}</math> и периодом <math>~T = 2 \pi \sqrt{\frac{l}{g}}</math>. Отметим, что описать движение жидкости на основании уравнений динамики в данном случае сложнее. == Примечания == <references /> <p style="text-align:right"> [[Слободянюк А.И. Физика 10/17.4|'''Следующая страница''']] </p> [[Категория: Слободянюк А.И. Физика 10]] [[Категория: Механические колебания]]

Возврат к странице Слободянюк А.И. Физика 10/17.3.