Т. Условия равновесия

Сила. Сложение сил

Основные физические величины, используемые в статике, — сила и момент силы. Сила как величина векторная характеризуется модулем, направлением в пространстве и точкой приложения.

Результат действия силы на материальную точку зависит только от ее модуля и направления. Твердое же тело имеет определенные размеры. Поэтому одинаковые по модулю и направлению силы вызывают различные движения твердого тела в зависимости от точки приложения.

Точку приложения силы можно переносить только вдоль прямой, вдоль которой эта сила действует. Об этом необходимо всегда помнить при осуществлении различных операций над силами.

Сила \(~\vec R\), которая производит на тело такое же действие, как и несколько одновременно действующих на него сил, называется равнодействующей. Она равна геометрической сумме этих сил\[~\vec R = \sum^n_{i=1} \vec F_i\].

Сложить силы — это значит найти их равнодействующую.

Рис. 1

Если к телу приложено две силы в одной точке, то равнодействующую находят по правилу параллелограмма (рис. 1). Модуль равнодействующей двух сил можно определить по теореме косинусов

\(~R = \sqrt{F^2_1 + F^2_2 + 2F_1F_2 \cos \alpha}\)

или при α = 90°— по теореме Пифагора.

Если непараллельные силы приложены в разных точках тела, то для нахождения их равнодействующей эти силы \(~\vec F_1\) и \(~\vec F_2\) переносят в точку О пересечения прямых, вдоль которых они действуют (рис. 2), а затем производят их векторное сложение по правилу параллелограмма. Точкой приложения равнодействующей силы может быть любая точка прямой, вдоль которой она действует.

Рис. 2

Условие равновесия тела, не имеющего оси вращения

Если под действием приложенных к телу сил оно движется поступательно, то все его точки движутся одинаково и достаточно рассмотреть движение одной точки. Условие равновесия такого тела, как и условие равновесия материальной точки, вытекает из основного уравнения динамики:

\(~\vec a = 0\) и \(~\vec \upsilon = \operatorname{const}\) , если \(~\sum^n_{i=1} \vec F_i = 0\) .

Это выражение можно записать в проекциях на оси:

\(~\sum^n_{i=1} F_{ix} = 0; \sum^n_{i=1} F_{iy} = 0; \sum^n_{i=1} F_{iz} = 0.\)

Таким образом, чтобы невращающееся тело находилось в равновесии, необходимо, чтобы геометрическая сумма сил. действующих на тело, была равна нулю (или алгебраическая сумма проекций этих сил на оси координат была равна нулю).

Условие равновесия тела с закрепленной осью вращения

Выясним условие равновесия тела, которое под действием приложенных к нему сил поступательно не движется, а поворачивается вокруг некоторой закрепленной оси. Например, рассмотрим невесомый стержень ВС, на который действуют силы \(~\vec F_1\) и \(~\vec F_2\) (рис. 3).

Рис. 3

Повернем его на небольшой угол φ вокруг оси О. При этом точки приложения сил \(~\vec F_1\) и \(~\vec F_2\) совершат перемещение BB'₁ и CC'₁ соответственно. При малом угле поворота φ можно считать, что

\(~BB_1 = BO \cdot \varphi = l_1 \varphi; CC_1 = CO \cdot \varphi = l_2 \varphi ,\)

где l₁ и l₂ — плечи сил \(~\vec F_1\) и \(~\vec F_2\) соответственно, а угол φ выражают в радианах.

Плечо силы — это кратчайшее расстояние от оси вращения до прямой, вдоль которой действует сила.

Эти силы совершают работу:

\(~A_1 = F_1 l_1 \varphi; A_2 = -F_2 l_2 \varphi .\)

Произведение силы на ее плечо называют моментом силы относительно оси вращения:

\(~M = \pm Fl.\)

Принято считать момент сил, вращающих тело относительно данной оси по часовой стрелке, положительным, а против часовой стрелки — отрицательным.

Момент силы характеризует вращательное действие этой силы и во вращательном движении играет ту же роль, что и сила в поступательном движении.

Суммарная работа, совершаемая силами \(~\vec F_1\) и \(~\vec F_2\), составляет

\(~A = (F_1 l_1 - F_2 l_2) \varphi = (M_1 + M_2) \varphi . \qquad (1)\)

На основании теоремы о кинетической энергии ΔW_k = А. При равновесии скорость тела не изменяется, значит \(~\Delta W_k = 0 \Rightarrow A = 0\). Так как φ ≠ 0, то из выражения (1) следует, что M₁ + M₂ = 0. Таким образом, для того чтобы тело с закрепленной осью вращения находилось в равновесии, необходимо, чтобы алгебраическая сумма моментов сил, приложенных к телу, относительно этой оси была равна нулю, т.е. \(~\sum^n_{i=1} M_i = 0\).

Условия равновесия твердого тела

В общем случае, если тело под действием приложенных к нему сил может и поворачиваться, и двигаться поступательно, то для того, чтобы оно находилось в равновесии, необходимо выполнение двух условий:

1. геометрическая сумма приложенных к телу сил должна быть равна нулю\[~\sum^n_{i=1} \vec F_i = 0\] .
2. алгебраическая сумма моментов этих сил относительно любой оси должна быть равна нулю\[~\sum^n_{i=1} M_i = 0\] .

Литература

Аксенович Л. А. Физика в средней школе: Теория. Задания. Тесты: Учеб. пособие для учреждений, обеспечивающих получение общ. сред, образования / Л. А. Аксенович, Н.Н.Ракина, К. С. Фарино; Под ред. К. С. Фарино. — Мн.: Адукацыя i выхаванне, 2004. — C. 82-84.