A. Когерентность

Интерференция света. Когерентность. Спектральное разложение при интерференции

Интерференция является характерным признаком волновых процессов любой природы.

Интерференция возникает при наложении когерентных волн. Когерентные волны — это волны одинаковой частоты \(~(\upsilon_1 = \upsilon_2),\) с постоянной разностью фаз \(~(\varphi_2 - \varphi_1 = const),\) колебания векторов напряженности в которых происходят в одной плоскости.

Пусть в точечных когерентных источниках S₁ и S₂ колебания векторов \(\vec E\) происходят в одинаковых фазах. Волны от этих источников до точки М (рис. 17.3) распространяются в одной среде. От источника S₁ приходит в точку М волна

Рис. 17.3

\(E = E_{01} \cos \Bigr( \omega t - \frac{2 \pi r_1}{\lambda} \Bigl),\)

от источника S₂ приходит волна

\(E = E_{02} \cos \Bigr( \omega t - \frac{2 \pi r_2}{\lambda} \Bigl),\)

где r₁ и r₂ — расстояния от источников S₁ и S₂ до точки М. Для нахождения амплитуды Е₀ результирующей световой волны в точке М, возникающей в результате наложения этих волн, воспользуемся методом векторных диаграмм (рис. 17.4):

Рис. 17.4

\(E_0^2 = E_{01}^2 + E_{02}^2 + 2E_{01} E_{02} \cos(\varphi_1 - \varphi_2).\) (17.1)

Амплитуда результирующего колебания зависит от разности фаз - \((\varphi_1 - \varphi_2)\). Разность фаз

\(\varphi_1 - \varphi_2 = \Bigr(\omega t - \frac{2 \pi r_1}{\lambda} \Bigl) - \Bigr(\omega t - \frac{2 \pi r_2}{\lambda} \Bigl) = \frac{2 \pi (r_2 - r_1)}{\lambda} = \Delta \varphi\)

зависит, как видно, от геометрической разности хода \(~(r_2 - r_1)\) если волны распространяются в разных средах, надо учитывать оптическую разность хода. Оптической длиной пути называется произведение геометрической длины r пути световой волны в данной среде на абсолютный показатель преломления этой среды\[~L = nr.\] Оптическая разность хода волн \(~\Delta = n_2 r_2 - n_1 r_1,\) где \(~n_2\) и \(~n_1\) — абсолютные показатели преломления этих сред. Так как волны когерентны, то \(\Delta \varphi\) имеет постоянное во времени (но свое для каждой точки пространства) значение. Интенсивность света \(~I\) пропорциональна \(~I \sim E^2 ,\) поэтому уравнение (17.1) можно переписать в виде

\(I = I_1 + I_2 + 2 \sqrt{I_1I_2} \cos \Delta \varphi.\)

Для некогерентных волн разность фаз

\(\Delta \varphi = (\omega_2 - \omega_1)t - 2 \pi \Bigr(\frac{r_1}{\lambda_1} - \frac{r_2}{\lambda_2} \Bigl)\)

непрерывно изменяется со временем, поэтому среднее значение за период \( < \cos \Delta \varphi > = 0,\) и интенсивность результирующей волны всюду одинакова и равна \(~I = I_1 + I_2 ,\) и если \(~I_1 = I_2 ,\) то \(~I = 2I_1.\) 

Для когерентных волн в точках пространства, где \( \cos \Delta \varphi > 0,\) \(~I > I_1 + I_2 ,\) где \(\cos \Delta \varphi < 0,\) интенсивность \(~I < I_1 + I_2.\) Следовательно, при наложении двух когерентных световых волн происходит пространственное перераспределение энергии по волновому фронту, в результате чего в пространстве образуется устойчивая картина чередования областей максимумов и минимумов интенсивности. Но среднее значение энергии во всех точках наблюдаемой картины равно, конечно, сумме энергий, приносимых обеими волнами.

Если разность фаз \(\Delta \varphi = \frac{2 \pi (r_2 - r_1)}{\lambda} = m \cdot 2 \pi,\) то

\(~r_2-r_1 = m \lambda,\) где \(m = 0, 1, 2, \ldots\) (17.2)

Таким образом, если разность хода в вакууме равна целому числу длин волн, то \(~\cos \Delta \varphi = 1\) и \(I = I_1 + I_2 + 2\sqrt{I_1I_2}.\) Если \(I_1 = I_2,\) то \(I = 4I_1,\) интенсивность света будет максимальна (колебания, возбуждаемые в точке М обеими волнами, находятся в одинаковых фазах и усиливают друг друга).

Равенство (17.2) есть условие интерференционного максимума.

Если \(\Delta \varphi = \frac{2 \pi(r_2 - r_1)}{\lambda} = (2m+1) \pi,\) то \(\cos \Delta \varphi = -1\) и \(I = I_1 + I_2 - 2\sqrt{I_1I_2}.\)

Если \(~I_1=I_2,\) то \(~I=0,\) т.е. интенсивность света минимальна (колебания, возбуждаемые в точке М обеими волнами, находятся в противофазе и ослабляют друг друга). Это будет в том случае, если разность хода в вакууме будет равна нечетному числу полуволн:

\(r_2 - r_1 = (2m+1)\frac{\lambda}{2},\)

где \(m = 0, 1, 2, \ldots\) Равенство (17.3) есть условие интерференционного минимума.

Таким образом, интерференция света — наложение световых когерентных волн, в результате которого наблюдается устойчивая во времени картина чередования максимумов и минимумов интенсивности света.

Если когерентными источниками света являются две узкие параллельные щели (рис. 17.5), то на экране интерференционная картина представляет собой чередование светлых и темных полос, параллельных друг другу Как показывают расчеты (см. ниже "Примеры решения задач", задача 2), положение светлых полос относительно точки О определяется формулой 

Рис. 17.5

\(x_m = \frac{m \lambda D}{l}.\)

Расстояние между соседними максимумами

\(\Delta x = x_m - x_{m-1} = \frac{\lambda D}{l}.\)

Как видно, \(\Delta x\) не зависит от порядка интерференционного максимума и является постоянной для данных \(\lambda\), D и l.

Главный максимум, соответствующий m = 0, находится в точке О Вверх и вниз от него, на равных расстояниях друг от друга расположены максимумы (минимумы) первого (m = 1), второго (m = 2) и т.д. порядков.

Эта картина справедлива лишь при освещении щелей монохроматическим светом. Если использовать белый свет, то интерференционные максимумы для различных длин волн согласно формуле (17.4) будут смещены друг относительно друга и будут иметь вид радужных полос. Только для m = 0 максимумы всех длин волн совпадают и в середине экрана будет наблюдаться белая полоса, по обе стороны от которой симметрично располагаются спектрально окрашенные полосы максимумов 1-го, 2-го и т.д. порядков.

Литература

Аксенович Л. А. Физика в средней школе: Теория. Задания. Тесты: Учеб. пособие для учреждений, обеспечивающих получение общ. сред, образования / Л. А. Аксенович, Н.Н.Ракина, К. С. Фарино; Под ред. К. С. Фарино. — Мн.: Адукацыя i выхаванне, 2004. — С. 504-507.