A. Сохранение импульса

Закон сохранения импульса

Рассмотрим систему трех тел (рис. 2). На тела действуют внешние силы \(~\vec F_1\), \(~\vec F_2\), \(~\vec F_3\). Силы \(~\vec F_{12}\), \(~\vec F_{21}\), \(~\vec F_{13}\), \(~\vec F_{31}\), \(~\vec F_{23}\), \(~\vec F_{32}\) — внутренние силы. Запишем для каждого тела основное уравнение динамики:

\(~\begin{matrix} \Delta \vec p_1 = \vec F_1 \Delta t + (\vec F_{12} + \vec F_{13}) \Delta t, \\ \Delta \vec p_2 = \vec F_2 \Delta t + (\vec F_{21} + \vec F_{23}) \Delta t, \\ \Delta \vec p_3 = \vec F_3 \Delta t + (\vec F_{31} + \vec F_{32}) \Delta t. \end{matrix}\)

Рис. 2

Просуммировав эти уравнения и учитывая, что согласно третьему закону Ньютона

\(~\vec F_{12} = -\vec F_{21}, \ \vec F_{13} = -\vec F_{31}, \ \vec F_{23} = -\vec F_{32},\)

получим

\(~\Delta (\vec p_1 + \vec p_2 + \vec p_3) = (\vec F_1 + \vec F_2 + \vec F_3) \Delta t \Rightarrow \Delta \vec p = (\vec F_1 + \vec F_2 + \vec F_3) \Delta t,\)

где \(~\vec p = \vec p_1 + \vec p_2 + \vec p_3\) — импульс системы тел.

Импульс системы тел равен геометрической сумме импульсов тел системы. Таким образом, импульс системы тел могут изменить только внешние силы. Если система замкнута, то

\(~\Delta \vec p = 0 \Rightarrow \vec p = \operatorname{const} ;\) \(~m_1 \vec \upsilon_1 + m_2 \vec \upsilon_2 + \ldots + m_n \vec \upsilon_n = m_1 \vec \upsilon_1\,' + m_2 \vec \upsilon_2\,' + \ldots + m_n \vec \upsilon_n\,'. \qquad (3)\)

Равенство (3) выражает закон сохранения импульса (ЗСИ): импульс замкнутой системы тел сохраняется при любых взаимодействиях этих тел.

В случае незамкнутой системы ЗСИ используется, если:

а) геометрическая сумма внешних сил равна нулю\[~\sum^n_{i=1} \vec F_i = 0\];

б) проекция равнодействующей внешних сил на некоторое направление равна нулю, т.е. если \(~\sum^n_{i=1} F_{ix} = 0\), то вдоль этого направления импульс системы сохраняется;

в) время взаимодействия мало (выстрел, взрыв, удар и т.п.).

С помощью ЗСИ можно вычислять скорости тел, не зная значения сил, действующих на них. ЗСИ является всеобщим законом: он применим как к телам обычных размеров, так и к космическим телам и элементарным частицам.

Литература

Аксенович Л. А. Физика в средней школе: Теория. Задания. Тесты: Учеб. пособие для учреждений, обеспечивающих получение общ. сред, образования / Л. А. Аксенович, Н.Н.Ракина, К. С. Фарино; Под ред. К. С. Фарино. — Мн.: Адукацыя i выхаванне, 2004. — C. 54-55.