Kvant. Высокая башня

Стасенко А.Л. Кому нужна высокая башня? //Квант. — 1995. — № 5. — С. 35-36.

По специальной договоренности с редколлегией и редакцией журнала "Квант"

Ну например, Галилею: «Галилей проделал опыт. Он взял пушечное ядро... и мушкетную пулю... и сбросил их с высоты 60 м. Оба тела достигли поверхности земли одновременно. Теория Аристотеля потерпела сокрушительное поражение. < В этом-то и была вся штука, но не это сейчас главное. — А.С. > Согласно легенде, считают, будто Галилей... использовал для этого эксперимента Пизанскую падающую башню. Башня эта, безусловно, как нельзя лучше подходит для упомянутой цели...» (Г. Липсон. Великие эксперименты в физике. М.: Мир, 1972, с.13).

Рис. 1

Разумеется, башни строились не только для физических опытов. Прежде всего, с них далеко видно — а при отсутствии радио, телевидения и телефона это было очень важно. Из рисунка 1 можно получить дальность видимости:

\(~AB = \sqrt{(R + h)^2 - R^2}\) .

(Это — теорема Пифагора, примененная к прямоугольному треугольнику OBA; угол B — прямой, так как луч зрения есть касательная к окружности сечения Земли, принимаемой за шар.) Так как башни обычно много меньше радиуса Земли, полученную формулу можно упростить (пренебрегая малой величиной h²):

\(~AB = \sqrt{2 Rh}\) .

Например, с Пизанской башни (при высоте h = 60 м и радиусе Земли R = 6400 км) видно на расстоянии порядка 28 км, что неплохо для средневековой городской стражи. (В качестве тренировки оцените дальность видимости с Останкинской башни высотой h ~ 300 м.) С высоких колоколен и башен, как говорят легенды н история, пытались прыгать первые дельтапланеристы и парашютисты — увы, иногда неудачно. В наше время передающие и принимающие антенны телевидения устанавливают тоже как можно выше (аж на спутниках), потому что в этом диапазоне длин волн важна «прямая видимость».

Рис. 2

Итак, будем делать башню все выше и выше. Вот уже ее надстроили так, что вершина переместилась из точки А в точку D (рис. 2). Но тут пора вспомнить, что Земля вращается вокруг оси юг—север (Süd—Nord). Значит, строитель башни (а вместе с ним и его профессионально неотъемлемый отвес) находится на карусели. А как известно, если вы стоите на вращающейся платформе, крепко держась за что-нибудь, вам кажется, что на вас действует сила, направленная по радиусу наружу. Хотя при этом вы вращаетесь вместе с платформой, т.е. двигаетесь по окружности, и, следовательно, имеете ускорение, направленное к центру (центростремительное ускорение). Эта сила, стремящаяся отбросить вас к периферии, как раз и возникла из-за того, что вращающаяся система отсчета относится к большому классу так называемых неинерциальных систем. Назовем эту силу центробежной силой инерции («бежный» указывает направление от оси вращения).

Чем выше над поверхностью Земли, тем больше будет центробежная сила инерции, перпендикулярная оси вращения. И, заодно, тем меньше сила притяжения к центру Земли. Значит, с увеличением расстояния от Земли равнодействующая этих двух сил все больше будет отклоняться от направления на центр О. В результате строитель, честно следуя указаниям отвеса, построит не ровную башню CAD, направленную строго по радиусу, а «кривую» башню CA’D’, которая и будет самой ровной, с точки зрения строительного искусства. (Строго говоря, и стены высоких домов тоже не плоские по той же причине.)

И только на полюсах и на экваторе башни будут иметь прямую ось: в первом случае просто нет центробежной силы инерции, во втором она есть, но направлена строго вдоль самой оси. Впрочем, что значит «строго»? Ведь если с одной стороны экваториальной башни окажется гора Килиманджаро, а с другой стороны такой горы нет, то ось башни слегка искривится в сторону горы. Есть даже очень тонкая наука — гравиметрия, которая изучает такое искривление гравитационного поля и позволяет установить не только влияние гор (они и так видны), но и уплотнений внутри Земной коры (например, рудоносных пластов, что гораздо важнее).

Рис. 3

А куда же все-таки упадет тело, если его уронить с вершины D’ башни СА’D’ ? Взглянем теперь на картину «сверху», вдоль оси вращения (рис.3). Изобразим линейные скорости (с индексом φ, который означает угол поворота вокруг оси вращения SN в нескольких точках. Величина линейной скорости, очевидно, тем больше, чем больше расстояние данной точки до оси вращения. Согласно первому закону Ньютона, падающее тело будет сохранять окружную скорость V_φD’ той точки, в которой его отпустили (понятно, если мы пренебрегаем сопротивлением воздуха). Скорость подножия башни V_φC меньше, чем V_φD’. Значит, за время падения тело переместится на восток дальше, чем основание башни, и не упадет к подножию башни, а отклонится к направлению на восход Солнца. Кстати, этими же простыми рассуждениями можно объяснить и многие другие интересные факты. Например, почему у меридиональных рек северного полушария крутыми являются правые берега (Волга, Енисей), а в южном полушарии — левые (притоки Амазонки); можно даже и не ездить туда, чтобы убедиться в этом, а лишь хорошенько подумать.

Но, может быть, падающее тело отклонится еще и к югу под действием центробежной силы инерции? Так оно и было бы, если бы строитель сделал «ровную» (радиальную) башню, но ведь его отвес уже учел эту силу в составе равнодействующей.

Пусть мы все-таки построили «самую ровную» башню высотой h на полюсе. Зачем? Конечно, чтобы подвесить к ее вершине математический маятник длиной h. Период его колебаний, как известно, равен \(~2 \pi \sqrt{\frac hg}\), а частота \(~\omega = \sqrt{\frac gh}\) . Если бы Земля не вращалась, отклонение маятника от полюса происходило бы в фиксированной меридиональной плоскости и изменялось бы со временем по закону

\(~r(t) = r_0 \sin \omega t\)

(r₀ — амплитуда отклонения). Но, поскольку Земля вращается с угловой скоростью Ω «под колеблющемся маятником» , его движение относительно Земли будет сложным. Угол φ той меридиональной плоскости, в которой начались колебания, в системе координат, связанной с Землей, линейно растет со временем: φ = Ωt. Поэтому получаем

\(~r(\varphi) = r_0 \sin \left(\frac{\omega}{\Omega} \varphi \right)\) .

Рис. 4

Эта зависимость в декартовой системе координат r, φ изображена на рисунке 4. Ну и что тут особенного — обыкновенная синусоида, только в интервале 0 ≤ φ ≤ 2π уложится не одно колебание (как у функции sin φ), а в \(~\frac{\omega}{\Omega}\) раз больше (причем это число необязательно целое). А в полярной системе координат эта зависимость изображена на рисунке 5 (рисунок качественный, если можете, нарисуйте точнее, взяв конкретные значения h).

Рис. 5

Так что, физики ради — стройте высокие башни, но, пожалуйста, не роняйте с них тяжелых предметов!