Kvant. Конденсатор в коробке

Ромишевский Е. Конденсатор в коробке и потенциальность кулоновского поля //Квант. — 1998. — № 1. — С. 40-42.

По специальной договоренности с редколлегией и редакцией журнала "Квант"

— Как вы считаете, кто задает больше всех вопросов?

— Наверное, ребенок?

— Нет, это физик! Да к тому же еще и сам старается на них ответить.

Интервью с прохожим

Рассмотрим некоторые интересные физические примеры и опыты, связанные с постоянным электрическим полем. Возьмем плоский конденсатор, т.е. две параллельные тонкие металлические пластины площадью S, расстояние между которыми d существенно меньше размеров этих пластин. Как можно зарядить такой конденсатор? Какой минимальный заряд для этого потребуется?

Поместим, например, на левую пластину положительный заряд +Q₀, а на правую — такой же по величине отрицательный заряд -Q₀. Эти заряды почти равномерно распределятся по внутренним сторонам пластин, с поверхностной плотностью \(~\sigma_0 = \frac{Q_0}{S}\), и создадут между пластинами однородное электрическое поле напряженностью

\(~E_0 = \frac{\sigma_0}{\varepsilon_0} = \frac{Q_0}{\varepsilon_0 S}\) .

В результате между пластинами возникнет разность потенциалов

\(~U_0 = E_0 d = \frac{\sigma_0}{\varepsilon_0} d = \frac{Q_0}{\frac{\varepsilon_0 S}{d}} = \frac{Q_0}{C}\) ,

где \(~C = \frac{\varepsilon_0 S}{d}\) — емкость плоского конденсатора.

Конденсатор — это хранитель зарядов. И емкость конденсатора определяет, насколько высока разность потенциалов между его обкладками (пластинами), когда мы храним в нем заряд, обуславливающий эту разность потенциалов. Если емкость велика, то даже при большом заряде разность потенциалов мала, и мы можем «загрузить» еще больший заряд, не боясь, что при больших значениях разности потенциалов, а значит, и напряженности поля возникнет пробой и конденсатор потеряет свой заряд и свою энергию.

Мы можем зарядить конденсатор по- другому, поместив положительный заряд +Q₀, например, на левую (положительную) пластину, а правую просто заземлить. При этом отрицательный заряд -Q₀ сам придет из земли, и между пластинами возникнет та же разность потенциалов U₀. Можно подключить к незаряженным пластинам батарею с электродвижущей силой ε_b = U₀, тогда через батарею пройдет заряд Q₀ и конденсатор зарядится. Мы можем сказать, что для зарядки конденсатора емкостью \(~C = \frac{\varepsilon_0 S}{d}\) до разности потенциалов U₀ ему достаточно сообщить заряд Q₀.

Рис. 1

Разместим теперь слева и справа от нашего заряженного плоского конденсатора — пластины 2 и 3 — еще две протяженные параллельные пластины 1 и 4 тоже на расстояниях d от пластин конденсатора (рис.1) и соединим их проводником. Иными словами, как бы поместим наш конденсатор в металлическую коробку. Спрашивается, какой теперь будет картина распределения зарядов на пластинах и электрических полей между пластинами и изменится ли емкость конденсатора с выводами от пластин 2 и 3, если раньше она была равна \(~C = \frac{\varepsilon_0 S}{d}\)?

Сначала подсоединим вольтметр, конечно идеальный (это значит, что его омическое сопротивление бесконечно большое, а электроемкость бесконечно малая), к «свободным» пластинам 2 и 3, т.е. без пластин 1 и 4. Вольтметр, разумеется, покажет разность потенциалов U₀. Потом, не меняя заряд Q₀, подсоединим вольтметр к пластинам 2 и 3, находящимся внутри соединенных пластин 1 и 4. Может показаться удивительным, что, хотя пластины 1 и 4 и не заряжены, показание вольтметра изменится, причем значительно. Вольтметр покажет теперь разность потенциалов \(~U = \frac 23 U_0\). Это значит, что емкость такого сложного конденсатора изменилась и стала равной

\(~C^* = \frac{Q_0}{\frac 23 U_0} = \frac 32 \frac{Q_0}{U_0} = \frac 32 C\) ,

т.е. увеличилась в 3/2 раза. Итак, сажая на пластины 2 и 3 заряды +Q₀ и -Q₀, мы в последнем случае (в присутствии пластин 1 и 4) получили разность потенциалов в 2/3 раза меньше, чем для свободного конденсатора с теми же пластинами. Это — экспериментальный факт, и мы его теперь должны осмыслить.

Если разность потенциалов между пластинами 2 и 3 равна

\(~U = E d = \frac 23 U_0 = \frac 23 E_0 d = \frac 23 \frac{Q_0 d}{\varepsilon_0 S} = \frac 23 \frac{\sigma_0 d}{\varepsilon_0}\) ,

то это значит, что на правой стороне пластины 2 находится заряд \(~+\frac 23 Q_0\), a на левой стороне пластины 3 — заряд \(~-\frac 23 Q_0\). А куда же делся заряд \(~+\frac 13 Q_0\) пластины 2? Он может быть только на левой стороне пластины 2! Но тогда на правой стороне пластины 1 должен находиться соответствующий отрицательный заряд \(~-\frac 13 Q_0\). Опять вопрос: а откуда взялся этот заряд на первой пластине? Ответ: только если он перетек с пластины 4, так что на ее левой стороне появился заряд \(~+\frac 13 Q_0\). В результате между пластинами 1 и 2, а также 3 и 4 возникли одинаковые электрические поля\[~\vec E_{12} = \vec E_{34}\] , которые направлены противоположно полю \(~\vec E_{23}\) и в два раза меньше его по величине.

Анализируя экспериментальный факт (результаты показаний вольтметра в рассмотренных случаях), мы пришли к очень важному заключению, что если с некоторым пробным зарядом q пройти по замкнутому контуру от пластины 1 к пластине 4 внутри -«сложного конденсатора» и вернуться к пластине 1 по проводнику, соединяющему эти пластины, то суммарная работа в электрических полях \(~\vec E_{12}\), \(~\vec E_{23}\) и \(~\vec E_{34}\) будет равна нулю:

\(~A = q E_{12} d + q E_{34} d - q E_{23} d\) .

Внутри объемов проводников, конечно, не содержится электрических полей. Дело в том, что кулоновское электрическое поле — поле стационарных электрических зарядов, подчиняющееся закону Кулона, — обладает очень важным и замечательным свойством (как и поле тяготения, подчиняющееся похожему закону тяготения Ньютона): оно потенциально, т.е. работа по перемещению электрического заряда в этом поле зависит только от положения начальной и конечной точек, но не от формы пути перехода между ними. Естественно, знаки работы при переходе в прямом и обратном направлениях разные, поэтому работа по любому замкнутому пути (любой формы) всегда будет равна нулю. Это означает, что любой точке пространства, в котором имеется электрическое кулоновское поле, можно приписать определенное значение потенциала φ, равного работе по перемещению единичного положительного заряда из этой точки пространства, где есть поле, в бесконечность, где поля уже нет, по пути любой формы.

Рассматривая нашу систему из четырех пластин, можно было бы исходить из этого замечательного принципа, свойственного кулоновскому полю. Тогда, вставляя между пластинами 1 и 4 заряженные зарядами ±Q₀ пластины 2 и 3, мы должны обязательно потребовать переход заряда \(~-\frac 13 Q_0\) с четвертой пластины на первую, иначе мы нарушим наш замечательный принцип, что невозможно!

А каков физический механизм перетекания заряда с пластины на пластину? На этот вопрос ответить несложно. В металле имеется огромное количество свободных электронов, имеющих столь малую массу, что они практически безынерционны, поэтому достаточно чрезвычайно малых электрических полей, чтобы вызвать их перемещение. Вот этими полями и являются -«краевые поля» нашего плоского конденсатора в окружающем его пространстве.

Рис. 2

Следует иметь в виду, что потенциальность электрического кулоновского поля — это не только замечательный принцип, но и способ анализа и решения многих вопросов и задач. К примеру, легко придумать и изобразить эквивалентную схему включения конденсаторов из наших четырех пластин (рис.2), имеющую общую емкость \(~\frac 32 C\).

Рис. 3

Вернемся опять к нашему плоскому конденсатору, имеющему уединенные пластины (2 и 3), с зарядом Q₀, емкостью \(~C = \frac{\varepsilon_0 S}{d}\) и разностью потенциалов U₀, и попробуем графически изобразить распределение потенциала его электрического поля вдоль оси, проходящей через середины пластин. Начало координат выберем в центре конденсатора, а ось X направим вправо (рис.3). Плоскость YZ, перпендикулярная оси X и проходящая через центр конденсатора, является эквипотенциальной поверхностью нулевого потенциала. В каждой ее точке силовые линии поля перпендикулярны к ней и работа по перемещению заряда вдоль этой поверхности на бесконечность равна нулю. Внутри конденсатора поле однородное, значит, график потенциала будет линейным, причем в центре потенциал равен нулю, а на поверхностях пластин составляет \(~+\frac 12 U_0\) и \(~-\frac 12 U_0\). Внутри металлических пластин поля нет и потенциал там постоянен (\(~\pm \frac 12 U_0\)). Вне пластин электрическое поле очень мало, но на большом расстоянии от центра слева и справа потенциал стремится к нулю, уменьшаясь пропорционально \(~\frac{1}{x^2}\) (подумайте самостоятельно — почему).