Kvant. Магнитная катушка

Мягмарсурэн С. Как исследовать магнитную катушку //Квант. — 2005. — № 3. — С. 31,34-35.

По специальной договоренности с редколлегией и редакцией журнала "Квант"

Обсудим один из возможных методов измерения магнитной индукции и энергии магнитного поля катушки.

Рис. 1

Энергию магнитного поля катушки индуктивности можно определить, используя взаимные преобразования энергии: электрической-магнитной-тепловой-электрической. Соберем установку, электрическая схема которой показана на рисунке 1. В качестве индукционной катушки мы использовали электромагнит, состоящий из дроссельной катушки и сердечника с двумя полюсными наконечниками, повернутыми плоскими сторонами друг к другу. При замыкании ключа K в положение 1 ток I проходит по катушке индуктивностью L, за счет чего в катушке образуется ЭДС самоиндукции \(~\varepsilon_i = -L \frac{dI}{dt}\) . Согласно правилу Кирхгофа,

\(~I = \frac{\varepsilon + \varepsilon_i}{R}\), или \(~\varepsilon = IR - \varepsilon_i = IR + L \frac{dI}{dt}\) .

Здесь R —­ сумма сопротивления реостата и омического сопротивления катушки. За время dt источник электрической энергии совершает работу, равную

\(~\varepsilon Idt = I^2Rdt + LIdI\) .

Первое слагаемое в этой формуле выражает тепло Джоуля-Ленца, которое выделяется на сопротивлении R, а второе —­ ­дополнительную работу, обусловленную явлением самоиндукции. Следовательно, дополнительная работа, расходуемая на увеличение тока в цепи от 0 до значения I, является энергией магнитного поля W:

\(~W = \int_0^I LIdI = \frac{LI^2}{2}\) .

А теперь замкнем ключ в положение 2 —­ в правой цепи ток самоиндукции I проходит через омическое сопротивление R_k и сопротивление резистора R_r, на которых и выделяются количества теплоты Q_k и Q_r соответственно. Таким образом, энергия, запасенная в магнитном поле катушки, переходит в электрическую, а затем в тепловую.

Согласно закону сохранения энергии,

\(~\frac{W}{Q_r} = \frac{R_k + R_r}{R_r}\) .

В этом выражении сопротивления R_k и R_r есть известные и точно измеряемые параметры. Поэтому для определения W нам придется узнать величину Q_r.

Используем уравнение теплового баланса:

\(~Q_r = mc \Delta T\) ,

где m —­ масса материала, имеющего сопротивление R_r, c ­— удельная теплоемкость того же материала, ΔT —­ изменение его температуры. Величину ΔT измеряют термопарой ТП ­— для этого измерительный контакт прибора прикрепляется внутри витков резистора сопротивлением R_r, а другой, сравнивающий, контакт поддерживают при комнатной температуре T₀ (см. рис.1). Температурная разность контактов термопары ΔT прямо пропорциональна межконтактной разности потенциалов, т.е. термо-ЭДС ε_T. С учетом этого факта получим

\(~Q_r = mc \frac{\varepsilon_T}{\delta}\) ,

где δ —­ чувствительность термопары, измеряемая в милливольтах на кельвин.

Если выбрать сопротивление резистора R_r значительно больше, чем сопротивление катушки R_k, то эффект преобразования магнитной энергии в тепловую хорошо прослеживается. Поэтому в качестве резистора используют проволочную спираль, сделанную из сплава с большим удельным сопротивлением. В подавляющем большинстве случаев для такого металлического сплава удельная теплоемкость неизвестна, так что нам придется определить эту величину. Для этого мы придумали маленькую хитрость.

Соберем электрическую схему ­— такую же, как на рисунке 1, только без катушки индуктивности. Резистор, по которому течет ток I’ в течение времени t, нагревается, и в нем выделяется некоторое количество теплоты. Если при этом не возникает никаких других форм энергии, то, по закону сохранения энергии,

\(~I'^2 R_r t = mc \Delta T'\) .

Используя ту же термопару, определим новое изменение температуры\[~\Delta T' = \frac{\varepsilon'_T}{\delta}\]. Поэтому можно записать

\(~\frac{mc}{R_r \delta} = I'^2 \frac{t}{\varepsilon'_T} = \operatorname{const}\) .

В этом выражении ε’_T пропорционально времени t (с момента включения ключа K до окончания измерения). Величины I’, ε’_T, t экспериментально измеряются. Таким образом, во второй части опыта можно определить удельную теплоемкость с для любых электропроводящих материалов.

Используя выражения для количества теплоты Q_r и удельного сопротивления c, для энергии магнитного поля получим

\(~W = \frac{LI^2}{2} = Q_r = A \varepsilon_T\) ,

где А ­— постоянная прибора, которая равна

\(~A = (R_k + R_r) \frac{mc}{R_r \delta} = (R_k + R_r) I'^2 \frac{t}{\varepsilon'_T}\) .

Рис.2. Зависимость термо-ЭДС от силы тока при разных значениях межполюсного расстояния d (6, 9, 13, 20, 27 и 35 мм, если двигаться сверху вниз)

На самом деле, энергия магнитного поля является функцией двух переменных­ ­— силы тока I и расстояния между полюсами электромагнита d. Для определения энергии магнитного поля в зазоре электромагнита нами экспериментально построены графики зависимости термо-ЭДС от силы тока при разных значениях d (рис.2). Из графиков видно, что зависимость ε_T (I)­ — квадратичная. Значит, зависимость термо-ЭДС от квадрата тока будет линейной. Таким образом, для нашего прибора получаются вольт-амперные характеристики вида ε_T (I,d) = K(d) I², а их коэффициенты K(d) являются, в свою очередь, функцией d. Это приводит к следующему выражению для W:

\(~W(I,d) = A\varepsilon_T(I,d) = AK(d)I^2\) ,

где коэффициент AK(d), согласно формуле \(~W = \frac{LI^2}{2}\) , будет выражать индуктивность катушки L, точнее \(~\frac L2\).

Рис.3. Градуировочный график зависимости K от d катушки

Наконец, используя вольт-амперные характеристики, построим градуировочный график зависимости K(d) (рис.3). Такая градуировка и представляет собой измеритель энергии магнитного поля, создающегося в данном электромагните при любых значениях силы тока и расстояния между его полюсами. А последнее выражение для W(I,d) является эмпирически полученной нами формулой (основанной на опыте) для определения магнитной энергии данного электромагнита.

Теперь приступим к определению магнитной индукции поля. Разделив выражение для W(I,d) на объем воздушного зазора между полюсами электромагнита, получим объемную плотность магнитной энергии (всеми нежелательными краевыми эффектами мы будем пренебрегать):

\(~w(I,d) = \frac{AK(d)}{Sd} I^2\) ,

где S —­ площадь поперечного сечения полюса электромагнита. С другой стороны, объемная плотность магнитного поля прямо пропорциональна квадрату магнитной индукции В в данном месте пространства:

\(~w(I,d) = \frac{B^2}{2 \mu \mu_0}\) ,

где μ —­­ относительная магнитная проницаемость вещества, μ₀ —­­ магнитная постоянная. Из сопоставления двух после- дних выражений следует, что магнитная индукция и сила тока связаны соотношением

\(~B(I,d) = \sqrt{\frac{2 \mu \mu_0 AK(d)}{Sd}} I\) .

Рис.4. Зависимость магнитной индукции от силы тока при разных значениях межполюсного расстояния d

Поскольку для данного электромагнита градуировка K(d) уже установлена, можно графически построить семейство зависимости B(I,d) (рис.4). Из полученных графиков магнитная индукция непосредственно определяется без измерения и без вычисления при разных значениях либо d, либо I. Таким образом, мы получили эмпирическую формулу и создали градуировочные кривые для определения индукции магнитного поля.