Скачать + смотреть онлайн

видео 2022

бесплатно в хорошем качестве HD

Kvant. Открытие линзы

Материал из PhysBook
Версия от 11:56, 5 ноября 2009; Alsak (обсуждение | вклад)

(разн.) ← Предыдущая | Текущая версия (разн.) | Следующая → (разн.)
Перейти к: навигация, поиск

Стасенко А.Л. Зачем закрывать отверстие, или Открытие линзы //Квант. — 1999. — № 5. — С. 35-37.

По специальной договоренности с редколлегией и редакцией журнала "Квант"

Рассмотрим такую ситуацию: на непрозрачный экран с круглым отверстием нормально падает параллельный пучок света, или, что то же самое, плоская световая волна. Теперь предлагается часть площади отверстия перекрыть непрозрачным препятствием — шариком, шайбой или кольцом. Вопрос: как изменится освещенность в некоторой точке за экраном, лежащей на оси отверстия? Скорее всего, любой прохожий ответит: конечно, уменьшится! И будет прав, но... не всегда и не совсем.

Конечно, бытовая практика убеждает в том, что уменьшение площади отверстия, пропускающего свет внутрь некоторого объема, уменьшает и освещенность этого объема: ведь для того и служат плотные шторы на окнах, для того и щурят глаза при ярком свете, а зрачки и помимо нашей воли уменьшают свой диаметр.

Рис. 1

Но принципиально важен и встречный вопрос: а каково соотношение между длиной волны λ, радиусом отверстия r и расстоянием до точки наблюдения х (рис.1)? Этот вопрос связан с пониманием роли интерференции, суть которой заключается во взаимодействии двух волн, пришедших в точку наблюдения (рис.2): если эти волны пришли в одной фазе (или со сдвигом фаз, кратным 2π, что соответствует разности хода волн, равной целому числу длин волн), то их «горбы» и «впадины» складываются; если же волны придут в противофазе (или с разностью хода, равной нечетному числу полуволн), то результатом их взаимодействия в данной точке может стать взаимное уничтожение.

Рис. 2

Чтобы понять суть дела, повторим геометрические построения, которые до нас догадался сделать Опостен Френель еще в начале прошлого века. Проведем из точки наблюдения Р (рис.3) несколько лучей: один из них пусть пройдет через центр отверстия, другой будет ровно на \(~\frac{\lambda}{2}\) длиннее, следующий на \(~\frac{\lambda}{2}\) длиннее предыдущего, ..., и опишем, как ножкой циркуля, каждым из этих лучей окружности в плоскости отверстия с радиусами r1, r2, ... Далее, разобьем первый круг на кольца (а1, б1, … , э1, ю1, я1) одной и той же площади. Согласно Гюйгенсу и Френелю, каждое иэ этих колец посылает в точку Р вторичные волны (первичная волна пришла в плоскость самого отверстия), причем их амплитуды пропорциональны площадям колец (они, по построению, одинаковы), а сдвиг фаз нарастает с удалением от центра и достигает величины, соответствующей разности хода \(~\frac{\lambda}{2}\) у края зоны радиусом r1 (так называемой первой зоны Френеля). Этот набор слов иллюстрируется на рисунке 3 справа в виде малых векторов а1, б1, … , ю1, я1, имеющих (почти) одинаковую длину, но повернутых друг относительно друга на упомянутую разность фаз, причем последний вектор я1 по договору повернут относительно а1 на 180° (или π), что и свидетельствует о разности хода \(~\frac{\lambda}{2}\) между соответствующими волнами. Сумма всех этих малых векторов равна \(~\vec A_1\). А почему упомянуто слово «почти»? Да потому что кольцо я1 все-таки дальше от точки наблюдения, чем центральный диск а1; следовательно, пришедший от него в точку Р сигнал будет чуть слабее.

Рис. 3

Проделаем аналогичные построения для кольца, лежащего между окружностями с радиусами r1 и r2 (вторая зона Френеля). В результате сумма возмущений а2, б2, … , ю2, я2, приходящих от элементов этого кольца, даст вектор \(~\vec A_2\), противоположно направленный по отношению к вектору \(~\vec A_1\) (и несколько меньший по модулю). Таким образом, вторичные волны, пришедшие от второй зоны Френеля, почти полностью погасят те, которые пришли от первой зоны.

Уже на этом этапе почти все понятно: из отверстия радиусом r1 в точку Р придет света гораздо больше, чем из отверстия радиусом r2 > r1. Значит, уменьшив площадь отверстия, мы увеличили освещенность в точке наблюдения! Но продолжим увеличивать радиус отверстия. Достигнув трех зон Френеля, увидим, что вектор \(~\vec A_3\) будет почти равен вектору \(~\vec A_1\) , и, следовательно, освещенность в точке Р возрастет. Открыв четвертую зону, мы вновь почти погасим свет в точке наблюдения; пятая зона приведет опять к росту освещенности и т.д. Когда непрозрачное препятствие полностью исчезнет, спираль (так называемая спираль Френеля) свернется в центр окружности диаметром A1, а в точке Р останется первичная волна с амплитудой A0, приблизительно вдвое меньшей A1.

Но пора бы сделать и численные оценки. Из прямоугольного треугольника 1Р (см. рис.3) можно найти радиус первой зоны Френеля:

\(~r_1 = \sqrt{\left( x + \frac{\lambda}{2} \right)^2 - x^2} = \sqrt{\lambda x - \frac{\lambda^2}{4}} \approx \sqrt{\lambda x}\) (1)

(здесь мы пренебрегли малой величиной \(~\frac{\lambda^2}{4}\), считая, что расстояние от отверстия до точки наблюдения много больше длины волны, т.е. x >> λ)

Аналогично найдем

\(~r_2 = \sqrt{2\lambda x}, r_3 = \sqrt{3\lambda x}, \ldots, r_m = \sqrt{m\lambda x}\) (2)

(Отметим здесь замечательный факт: площадь круга, лежащего в плоскости отверстия, пропорциональна разности длин лучей, проведенных из точки Р к окружности и к центру. Причем это верно не только для дискретных значений этой разности (\(~\frac{\lambda}{2},2\frac{\lambda}{2},3\frac{\lambda}{2}, \ldots, m\frac{\lambda}{2}\)), но и для любых значений. Этот факт и был использован выше при построении элементарных возмущений а1, б1, … , я1 : именно благодаря тому, что одинаковым приращениям площади соответствуют одинаковые приращения длины луча, векторы возмущений на рисунке 3 образуют полуокружность.)

Пусть отверстие в непрозрачном экране имеет, например, радиус r = 1 мм, а длина волны, падающей на него, равна λ = 0,5 мкм. Тогда, согласно формуле (1), заданное отверстие представляет собою одну первую зону Френеля (r1 = r) для точки с координатой

\(~x_1 = \frac{r^2}{\lambda}\) = 2 м

- в этой точке будет наибольшая амплитуда (и интенсивность) волны. Теперь, отправившись от точки с координатой x1, будем приближаться к отверстию вдоль оси. На некотором расстоянии

\(~x_2 = \frac{r^2}{2 \lambda} = \frac{x_1}{2}\) = 1 м

это фиксированное отверстие будет представлять собой уже две зоны Френеля; следовательно, в этой точке почти не будет света. Чем ближе к отверстию, тем большему числу зон Френеля оно будет соответствовать. Таким образом, для всех точек с координатой х < x1 суммарная амплитуда всех вторичных волн будет изображаться вектором \(~\vec A\), начало которого закреплено, а конец движется по спирали Френеля против часовой стрелки (см. рис.3). Значит, свет и тьма будут сменять друг друга, а вблизи отверстия освещенность станет равной I0 (соответствующей амплитуде A0). Это изменение освещенности вдоль оси качественно изображено на рисунке 4.

Рис. 4

А что если мы отправимся в другую сторону? Для точек с координатой х > x1, амплитуда волны будет изображаться вектором, конец которого скользит по спирали Френеля по часовой стрелке. Интенсивность света будет монотонно падать, причем можно сказать, по какому закону\[~I \sim \frac{1}{x^2}\] , так как с большого расстояния отверстие будет казаться точкой.

Только что мы рассмотрели случай отверстия фиксированного радиуса. А если, наоборот, зафиксировать точку на оси и открывать отверстие, увеличивая его радиус по некоторому временному закону r(t). Тогда, начиная от полной темноты (при r = 0), мы сначала откроем первую зону Френеля (при этом будет самый яркий свет с интенсивностью I1 = 4I0), затем вторую (тьма), третью (свет) и так далее, вплоть до полностью открытого фронта с интенсивностью первичной волны I0. Иными словами, при открывании отверстия наблюдатель в фиксированной точке зарегистрирует целую последовательность вспышек.

Рис. 5

Но вернемся к самой спирали Френеля и обсудим, что будет, если как-то избавиться от всех четных зон, которые создают в точке Р возмущения, гасящие те, которые приходят от нечетных зон. Действительно, закроем четные зоны непрозрачными кольцами (рис.5). Тогда все векторы \(~\vec A_1, \vec A_3, \vec A_5, \ldots\) выстроятся друг другу «в затылок», и их сумма даст гораздо более сильный сигнал, чем одна зона.

Рис. 6

Но зачем же так просто терять свет от четных зон? Лучше прикроем их прозрачными (стеклянными) кольцами (рис.6), подобрав их толщину так, чтобы они «подтормаживали» свет, но не просто как-нибудь, а внося разность фаз, в точности равную нечетному числу π. А именно, пусть их толщина h такова, что

\(~h (n - 1) = (2m + 1) \frac{\lambda}{2}\) ,

где n - показатель преломления этих стеклышек, а m = 0, 1, … При этом векторы \(~\vec A_2, \vec A_4, \ldots\) «станут в строй», развернувшись в том же направлении, что и возмущения от нечетных зон. Очевидно, что суммарный сигнал в точке Р еще увеличится.

А нужно ли так грубо обращаться с фазой? Мы ведь можем так отшлифовать эти стеклянные кольца, чтобы в пределах каждой зоны они плавно изменяли фазы проходящего через них света, компенсируя геометрическое запаздывание (рис.7; сплошная ступенчатая линия слева). В результате полуокружность диаметром A1 развернется в отрезок длиной \(~\frac{\pi}{2} A_1\). То же самое произойдет в каждой зоне Френеля, так что вся спираль развернется в один отрезок прямой - и в точке Р будет достигнута максимально возможная освещенность.

Рис. 7

Но зачем же изготавливать из стекла такое ступенчатое тело? Ведь это далее и неудобно. Поэтому добавим в каждой зоне такую толщину стекла, которая вносила бы разность хода в целое число длин волн, обеспечивая при этом плавные обводы (рис.7; штриховая линия слева). Ба! Да ведь это же линза! А точка Р, о которой мы так заботились, - ее фокус.

Так ради чего старались? А ради того, чтобы понять, что и просто круглое отверстие обладает свойствами линзы. Причем у этой «линзы» много «фокусов» (см. рис.4), между которыми расположены точки минимальной интенсивности. А куда же делась энергия из этих точек? Никуда, просто она перераспределилась в плоскости, перпендикулярной оси, так что каждая «темная» точка оказалась окруженной системой светлых колец.

Смотреть HD

видео онлайн

бесплатно 2022 года

Персональные инструменты
Пространства имён

Варианты
Действия
Учебники
Журнал "Квант"
Разделы физики
Общие
Инструменты