Kvant. Параметрический резонанс

Варламов А.А., Черноуцан А.И. Что такое параметрический резонанс? //Квант. — 1986. — № 9. — С. 29-30.

По специальной договоренности с редколлегией и редакцией журнала "Квант"

Из школьного курса физики (см. «Физику 10», § 9 и 20) вы знаете о резонансе в колебательной системе, который возникает в результате воздействия периодической внешней силы, изменяющейся с частотой, равной частоте свободных колебаний системы (в действительности из-за трения резонанс наступает при несколько меньшей частоте). Оказывается, наличие такой силы — не единственная возможность возникновения резонансных явлений. Вот наглядный пример. Раскачиваясь на качелях, вы можете значительно увеличить амплитуду их колебаний только благодаря тому, что будете периодически приседать и распрямляться, то есть изменять положение своего центра тяжести.

Из этого примера видно, что причиной резкого возрастания амплитуды колебаний может служить не только периодическая внешняя сила, но и периодическое изменение одного из параметров колебательной системы при условии, что частота этих изменений определенным образом связана с частотой собственных колебаний системы. Такой резонанс называют параметрическим.

Для выяснения механизма этого способа усиления колебаний обратимся к хорошо знакомой вам системе — грузику на пружине («Физика 10», § 2). Однако вместо того чтобы возбудить обычные свободные колебания грузика, сделаем следующее.

В момент, когда грузик массой m проходит положение равновесия с максимальной скоростью υ_m, положим на него некоторый дополнительный грузик массой Δm, скажем, пластилиновый шарик. Для того чтобы скорость грузика в этот момент не изменилась, предварительно разгоним шарик до той же скорости υ_m. Отметим, что в процессе разгона шарика мы совершаем работу, которая в конечном счете идет на увеличение полной энергии системы до величины \(~\frac{(m + \Delta m) \upsilon^2_m}{2}\). Это увеличение энергии приводит к большему, по сравнению с прежним, максимальному растяжению пружины x’_m, величину которого можно найти из закона сохранения энергии

\(~\frac{(m + \Delta m) \upsilon^2_m}{2} = \frac{k (x'_m)^2}{2}\) .

В момент, когда пружина максимально растянута, а скорость грузика равна нулю, мы мгновенно снимем шарик. Так как в этот момент вся энергия системы заключена только в растянутой пружине, уменьшение массы грузика никак не изменит полной энергии системы. Таким образом, нам удалось ввести в систему дополнительную энергию \(~\frac{\Delta m \upsilon^2_m}{2}\). При этом энергия системы увеличилась в

\(~n = \frac{\frac{(m + \Delta m) \upsilon^2_m}{2}}{\frac{m \upsilon^2_m}{2}} = 1 + \frac{\Delta m}{m}\) раз.

Дадим нашей системе «отдохнуть» и, когда грузик будет снова проходить (в обратном направлении) положение равновесия, повторим ту же процедуру с пластилиновым шариком. Однако теперь благодаря предыдущему вмешательству максимальная скорость у грузика оказывается равной \(~\upsilon'_m = \sqrt{\frac{m + \Delta m}{m}} \upsilon_m\), и, разгоняя шарик, прежде чем положить его на грузик, нам придется совершить работу большую, чем в первый раз \(~\left(\frac{\Delta m (\upsilon'_m)^2}{2} > \frac{\Delta m \upsilon^2_m}{2} \right)\).

Итак, каждые полпериода мы будем увеличивать энергию системы, и, понятно, что это увеличение энергии приводит к возрастанию амплитуды колебаний (будем считать массу шарика столь малой по сравнению с массой грузика, что изменением частоты колебаний системы можно пренебречь).

Подчеркнем тот факт, что в отличие от обычного резонанса, при котором частота внешней силы должна быть равна собственной частоте колебаний системы, в случае параметрического резонанса усиления колебаний происходят наиболее эффективно, когда частота изменения того или иного параметра системы вдвое превышает ее собственную частоту колебаний.

Рассмотрим еще один пример, иллюстрирующий общий принцип возникновения параметрического резонанса. Представим колебательный контур, состоящий из конденсатора и катушки, в котором могут происходить свободные электрические колебания («Физика 10», § 13). Будем периодически изменять емкость конденсатора. Для этого в момент, когда заряд на конденсаторе максимален, быстро раздвинем его пластины, когда же заряд на пластинах равен нулю, так же быстро вернем их в прежнее положение. Продолжая этот процесс, можно убедиться в том, что амплитуда колебаний в такой системе будет неограниченно возрастать, хотя в контуре и отсутствует внешняя ЭДС. Дело в том, что при раздвигании заряженных пластин мы каждый раз совершаем положительную работу, а сдвигая незаряженные пластины, никакой работы не совершаем вовсе. Легко видеть, что и в этом процессе частота внешнего воздействия вдвое превышает собственную частоту колебаний системы.

А что произойдет, если мы возьмем колебательный контур, в котором изначально отсутствуют явно выраженные колебания, и начнем чисто механически (меняя расстояние между пластинами или их площадь) с частотой, вдвое превышающей собственную, изменять емкость конденсатора? Оказывается, и в этом случае будет происходить процесс нарастания колебаний! Дело в том, что на пластинах конденсатора всегда есть некоторый малый, случайно образовавшийся, заряд. Этот заряд даст «начальный толчок» быстрому росту колебаний по схеме, описанной выше. На этом принципе устроены генераторы и усилители электромагнитных колебаний, получившие название параметрических машин. Первая параметрическая машина была сконструирована в 1933 году на основе исследований советских физиков — академиков Л. И. Мандельштама и Н. Д. Папалекси.

Ну, а если система не идеальна, то есть в ней есть потери энергии?

При обычном резонансе потери энергии определяют максимальную амплитуду колебаний. В случае же параметрического резонанса роль этих потерь принципиально иная. Как мы уже обсуждали, при параметрическом резонансе за каждые полпериода энергия системы возрастает в определенное число раз, но при этом часть энергии безвозвратно теряется (выделяется в виде тепла). Если возрастание энергии превышает потери, то колебания, хотя и медленнее, чем в отсутствие потерь, но будут неуклонно нарастать. Понятно, что для возбуждения колебаний в системе с трением следует в большей степени изменять соответствующий параметр системы — на грузик класть шарик большей массы, пластины конденсатора раздвигать на большее расстояние. Качающемуся же на качелях придется приседать глубже, однако если удастся начать раскачку, то, не изменяя глубины приседания, можно будет раскачаться очень сильно.