Kvant. Перемещение при a=const

Кикоин А.К. Перемещение при прямолинейном равноускоренном движении //Квант. — 1983. — № 10. — С. 32-33.

По специальной договоренности с редколлегией и редакцией журнала "Квант"

В учебнике «Физика 8» выражение

\(~s = \upsilon_0 t + \frac{at^2}{2}\)

для перемещения тела (материальной точки) при прямолинейном равноускоренном движении выводится из графика зависимости скорости тела от времени. Но то же выражение можно получить и прямым вычислением. Покажем это.

Пусть точка движется вдоль прямой с ускорением a в течение времени t, начиная с некоторого начального момента t = 0, когда скорость (начальная скорость) была равна υ₀. Разделим мысленно все время движения на одинаковые малые промежутки времени Δt, настолько малые, что скорость в течение времени Δt можно считать постоянной. Однако будем считать, что к концу каждого такого промежутка скорость как бы скачком возрастает на величину aΔt (движение ведь ускоренное).

За первый промежуток времени Δt перемещение Δs₁ равно υ₀Δt. Во второй промежуток времени скорость уже равна υ₀ + aΔt, а перемещение Δs₂ равно (υ₀ + aΔt) Δt = υ₀Δt + a(Δt)² , в третий оно равно (υ₀ + 2aΔt) Δt = υ₀Δt + 2a(Δt)² и т. д.

Таким образом,

\(~\begin{matrix} \Delta s_1 = \upsilon_0 \Delta t \\ \Delta s_2 = \upsilon_0 \Delta t + a(\Delta t)^2 \\ \Delta s_3 = \upsilon_0 \Delta t + 2a(\Delta t)^2 \\ \Delta s_4 = \upsilon_0 \Delta t + 3a(\Delta t)^2 \\ \ldots \\ \Delta s_n = \upsilon_0 \Delta t + (n - 1)a(\Delta t)^2 \end{matrix}\) ,

где n — число промежутков, на которые мы разделили время движения t. Так как промежутки Δt малы, n велико, поэтому в правой части последнего равенства можно пренебречь единицей по сравнению с n и считать, что

\(~\Delta s_n = \upsilon_0 \Delta t + na(\Delta t)^2\) .

Общее перемещение s равно сумме всех малых перемещений Δs_i:

\(~s = \Delta s_1 + \Delta s_2 + \Delta s_3 + \ldots + \Delta s_n\) ,

или

\(~s = n \upsilon_0 \Delta t + a(\Delta t)^2 (1 + 2 + 3 + \ldots + n)\) .

Сумма последовательных натуральных чисел равна полусумме крайних слагаемых, умноженной на их число:

\(~1 + 2 + 3 + \ldots + n = \frac{1+n}{2}n\) .

Пренебрегая единицей по сравнению с n, получаем

\(~1 + 2 + 3 + \ldots + n = \frac{n^2}{2}\) .

Отсюда

\(~s = \upsilon_0 n \Delta t + \frac{a(n \Delta t)^2}{2} \) .

Но nΔt = t, a (nΔt)² = t², тогда окончательно

\(~s = \upsilon_0 t + \frac{at^2}{2}\) .