Kvant. Потенциал

А так ли хорошо знаком вам потенциал? // Квант. — 1997. — № 3. — С. 32-33.

По специальной договоренности с редколлегией и редакцией журнала "Квант"

...напряжение — ...усилие, производимое каждой точкой
наэлектризованного тела, чтобы избавиться от имеющегося
в ней электричества и передать его другим телам...
Алессандро Вольта
Электродвижущее действие проявляется в двоякого рода эффектах...
Я назову первый из этих эффектов электрическим напряжением...
Андре Мари Ампер
Учитывая, насколько желательно подчинить расчету...
силу столь универсального характера, как электричество,..
мы можем сосредоточить свое внимание на одной особой функции,..
вместо того чтобы рассеивать свое внимание,
исследуя каждую из этих сил в отдельности...
Джордж Грин
В каждой точке пространства имеется число, и, когда вы
переходите с места на место, это число меняется.
Если в какой-то точке пространства поместить предмет,
то на него будет действовать сила в том направлении,
в котором быстрее всего изменяется это число
(я дам ему обычное название — потенциал...).
Ричард Фейнман

Между первым и последним из приведенных высказываний — почти двести лет. Они вобрали в себя одну из самых интересных историй о становлении одного из самых замысловатых физических (и не только!) понятий. Согласитесь, нелегко обнаружить главного персонажа этой истории, скрывающегося под масками то напряжения, то электродвижущей силы, то некой загадочной функции. Все это — потенциал. А со сколькими его разновидностями вам, возможно, еще придется встретиться: контактная разность потенциалов, потенциал ионизации, гравитационный потенциал... А каковы имена ученых, распутывавших терминологический клубок и шлифовавших новое понятие, — Эйлер, Лаплас, Пуассон, Грин, Гаусс!..

Правда, не сразу поймешь, физики ли это или математики? Не удивляйтесь, универсальность этого понятия связана с огромной областью плодотворных его применений — в задачах о распространении тепла, о течении жидкости, в расчетах гравитационных, электрических и магнитных полей.

Пробуя свои силы в решении пусть пока простых проблем, не забывайте о том, что современная теория потенциала — весомый «камень» в фундаменте целой отрасли знаний, называемой математической физикой.

Вопросы и задачи

1. Потенциал электрического поля некоторого заряда убывает по мере удаления от него. Каков знак этого заряда?
2. Всегда ли между проводником, заряженным положительно, и проводником, заряженным отрицательно, есть разность потенциалов?
3. На расстоянии r от центра изолированного проводящего незаряженного шара находится точечный заряд q. Чему равен потенциал шара?
4. Имеется заряженная сфера. Зависит ли потенциал в центре сферы от распределения зарядов на сфере?
5. Внутрь проводящей заряженной сферы через небольшое отверстие вносится (без соприкосновения) металлический шарик, заряд которого равен по величине, но противоположен по знаку заряду сферы. Как изменится потенциал сферы?
6. Как меняется потенциал поля сферического конденсатора с радиусами внутренней обкладки R₁, (заряд +q) и внешней R₂ (заряд -q) в зависимости от расстояния r от центра сфер? Начертите график.
7. Двум удаленным друг от друга проводникам сообщены положительные заряды так, что потенциал первого 100 В, а второго 50 В. Будут ли положительные заряды переходить с первого проводника на второй, если привести их в соприкосновение (никаких других тел вблизи нет)?
8. Пробный шарик соединяют проволочкой с электрометром и обводят по всему контуру заряженного тела, изображенного на рисунке. Будут ли при этом меняться показания электрометра? Почему для этого опыта берут длинную проволочку?

   

9. В однородное электрическое поле плоского конденсатора помещен проводящий незаряженный шар так, что центр его находится на равных расстояниях от пластин конденсатора. Потенциалы пластин равны +100 В и -100 В соответственно. Что представляет собой поверхность нулевого потенциала?
10. Упругий металлический шарик, несущий заряд q, закреплен на изолирующей упругой подставке. На него с высоты h падает точно такой же и так же заряженный второй шарик. На какую высоту поднимется второй шарик после удара о первый?
11. По гладкой наклонной плоскости, составляющей угол 45° с горизонтом, соскальзывает небольшое тело, несущее заряд -q. Повлияет ли на его скорость у основания наклонной плоскости заряд +q, закрепленный так, как показано на рисунке?

    

12. Между точками А и В некоторой цепи, содержащей конденсаторы, разность потенциалов равна U. Если к этим точкам присоединить конденсатор емкостью С, то будет ли его заряд равен CU?
13. Параллельно пластинам заряженного и отключенного от батареи плоского конденсатора вводят незаряженную металлическую пластину, толщина которой в два раза меньше расстояния между обкладками. Как изменится разность потенциалов между обкладками?
14. Почему к оборванному трамвайному проводу, лежащему на земле, следует подходить все более мелкими шажками?
15. Между любыми двумя точками однородного проволочного кольца разность потенциалов равна нулю, а ток в кольце существует. Когда это возможно?
16. Можно ли, находясь в самолете, летящем в магнитном поле Земли, обнаружить разность потенциалов, возникающую между концами крыльев самолета?
17. Вольфрамовый шарик, находящийся в вакууме, облучают ультрафиолетовым светом. Как со временем будет меняться потенциал шарика?

Микроопыт

Известно, что вблизи поверхности Земли напряженность электрического поля такова, что на расстоянии между уровнем вашего носа и уровнем пяток разность потенциалов составляет около 200 В. Сможете ли вы использовать это напряжение, чтобы зажечь электрическую лампочку? Не опасно ли такое напряжение для вас?

Любопытно, что…

...Вольта, обнаруживший контактную разность потенциалов, введший в науку термин «напряжение», отмеченный потомками присвоением единице электрического напряжения наименования «вольт», создавший «вольтов столб» — «самый замечательный, — по словам французского ученого Доминика Араго, — прибор, когда-либо изобретенный людьми, не исключая телескопа и паровой машины», не имел ни малейшего представления о том, как и почему этот прибор работает.

...прохождение тока через электролит приводит к появлению ЭДС, направленной «навстречу» приложенной извне. На это явление, названное гальванической поляризацией, натолкнулись в начале XIX века. В дальнейшем оно легло в основу изобретения кислотного аккумулятора.

...задачу о распределении электричества на проводнике заданной формы наметил в свое время Кулон. Именно решая такого рода задачи, Пуассон, еще до Грина и Гаусса, пришел к мысли ввести некоторую функцию, зависящую от координат и принимающую постоянное значение на поверхности проводника.

...свою работу «Опыт применения математического анализа к теориям электричества и магнетизма» Грин написал, будучи самоучкой. До сорока лет, когда он поступил (!) в Кембриджский университет, Грин работал пекарем и мельником, самостоятельно штудируя науки. Важно отметить, что, вводя понятие потенциальной функции, Грин не связывал его с понятием работы, еще не используемым в физике.

...электрический ток может протекать не только в цепи, где разность потенциалов между двумя произвольно взятыми точками равна нулю, но и течь от меньшего потенциала к большему, как, скажем, внутри источников тока.

...существуют такие электрические поля, для которых определить напряженность можно, а потенциал — нельзя. Например, поле, возникающее при электромагнитной индукции. Именно такие («непотенциальные») поля обеспечивают работу трансформаторов и электродвигателей.

...крупный угорь «вырабатывает» напряжение до 600 вольт при токе до 1 ампера. Это оказывается возможным за счет множества цепочек из последовательно соединенных электрических клеток, в каждой из которых создается разность потенциалов около 0,15 вольта. Сами же цепочки «подключаются» параллельно, поэтому суммарным током угорь способен оглушить или даже убить жертву.

...когда вы двигаетесь по ковру и, прикоснувшись к чему-либо, извлекаете электрические искры до сантиметра длиной, ваш потенциал составляет от 10000 до 20000 вольт.

...разность потенциалов (например, между облаком и землей) при возникновении молнии достигает 4 миллиардов вольт, а типичное значение силы тока в молнии порядка 20000 ампер.

...диапазон используемых человеком напряжений «раскинулся» на 12 порядков. Максимально достижимые из них ограничены электрической прочностью изоляторов и составляют миллионы вольт. Минимальные напряжения, с которыми имеют дело в технике, порядка долей микровольта.

Что читать в «Кванте» о потенциале

1. «Гроза и грозоотвод» — 1991, № 1, с. 35;
2. «Энергия электрического поля» — 1991, № 8, с. 58;
3. «Первый источник электрического тока» — 1992, № 1, с. 35;
4. «Заряженные частицы в электростатическом поле» — 1993, № 11/12, с. 53;
5. «Электромагнитная индукция» — 1995, № 3, с. 45;
6. «Метод электростатических изображений» — 1996, № 1, с. 42;
7. Калейдоскоп «Кванта» — 1996, № 3, с. 32;
8. «Электризация капель жидкости...» — 1996, № 5, с. 44;
9. «Движение тел в гравитационных полях» — 1997, № 1, с. 45;
10. «Занимательный электролиз» — 1997, № 2, с. 40;
11. «Участок цепи с источником тока» — 1997, № 3, с. 35;
12. «Потенциал электростатического поля» — 1997, № 3, с. 41.

Ответы

1. Положительный.
2. Нет, не всегда. Разность потенциалов может отсутствовать, если проводники находятся в поле, созданном другими заряженными телами (см., например, рисунок, где шары А и В зарядились по индукции под действием внешнего однородного поля).

   

3. Весь объем шара является эквипотенциальной областью. Ее потенциал равен потенциалу, создаваемому точечным зарядом в центре шара\[~\varphi = \frac{q}{4 \pi \varepsilon_0 r}\]. (Потенциал, создаваемый в центре шара зарядами, индуцированными на его поверхности, равен нулю.)
4. Нет.
5. Потенциал сферы станет равным нулю.
6. См. рис.

   

7. Не обязательно. Например, в случае, изображенном на рисунке, с проводника, потенциал которого был 50 В, весь заряд перейдет на проводник, имевший потенциал 100 В.

   

8. Нет, поскольку поверхность тела эквипотенциальная. Длинная проволочка нужна, чтобы поле заряженного тела не влияло на показания электрометра.
9. Это плоскость, равноудаленная от пластин конденсатора, и поверхность шара.

   

10. На высоту h.
11. Не повлияет (начальная и конечная точки траектории тела находятся на одной эквипотенциальной поверхности).
12. Не обязательно, так как присоединение конденсатора может изменить разность потенциалов между точками А к В (см., например, цепь, изображенную на рисунке).

    

13. Уменьшится в два раза.
14. Электрический ток от упавшего провода «растекается» во все стороны симметрично. Разность потенциалов между двумя точками на земле, а значит, и опасность поражения током, тем больше, чем ближе к проводу. (Такая же, кстати, картина наблюдается у дерева, в которое ударила молния.)

    

15. Например, если кольцо пронизывается магнитным потоком, равномерно изменяющимся со временем.
16. Нельзя (если не использовать проводники, неподвижные относительно Земли).
17. При облучении из шарика будут вылетать электроны, и шарик станет заряжаться положительно. Когда потенциальная энергия электрона в задерживающем поле шарика станет равна его кинетической энергии при вылете, наступит состояние динамического равновесия между вылетевшими электронами и шариком, после чего заряд шарика и его потенциал перестанут изменяться.

Микроопыт

Лампочку зажечь нельзя, так как соединение указанных точек проводником сразу же уравняет их потенциалы. Для вас никакой опасности нет, так как, когда вы стоите на земле, вы вместе с ней образуете эквипотенциальную поверхность и разность потенциалов между вашей макушкой и пятками практически равна нулю.

Материал подготовил А.Леонович