Kvant. Прошлогодняя зима

Стасенко А.Л. Где найти прошлогоднюю зиму? //Квант. — 2000. — № 5. — С. 36.

По специальной договоренности с редколлегией и редакцией журнала "Квант"

Большие керамические сосуды для хранения продуктов, чтобы охладить их,

зарывали в землю на глубину, превышающую человеческий рост (найдены в Кноссе, Трое, Тиринфе).

Словарь античности

Великий Лукреций весьма любопытно объяснил полугодовую периодичность колебаний температуры на некоторой глубине под землей:

«Летом в колодцах вода холодней, потому что от зноя

Пористей почва тогда и скорей выпускает на воздух

Жара она семена, какие в ней только найдутся.

...В холод, напротив, она, под давлением стужи сжимаясь,

Как бы смыкается вся и, сходясь все плотней и плотнее,

Весь свой остаток тепла выжимает, конечно, в колодцы».

С тех пор физика выработала более строгие понятия, чем «семена жара» или «давление стужи», — скажем, такие вполне измеримые величины, как плотность ρ или удельная теплоемкость c. Эти понятия сейчас пригодятся нам. А еще одна важная физическая величина, имеющая отношение к делу, называется теплопроводностью (или коэффициентом теплопроводности). О ней стоит поговорить особо. Вводится она очень просто и, как все в науке, практически целесообразно.

Например, нужно узнать, сколько тепла ежесекундно уходит зимой через каждый квадратный метр стены дома на улицу — это ведь поможет рассчитать количество дров, угля или электроэнергии, необходимое для отопления помещения. Пусть температуры внутренней и наружной поверхностей стены t_v и t_n, а ее толщина h. Тогда искомую плотность потока тепла q, его размерность [q] = Дж / (м²·с), записывают в виде

\(~q = \lambda \frac{t_v - t_n}{h}\) . (1)

Вот здесь уже и введен коэффициент теплопроводности λ. Предполагается, что этот коэффициент не зависит ни от температур, ни от толщины стенки, а характеризует только свойства ее вещества, так что строитель может найти его значение в Справочнике.

Из записанного равенства легко установить размерность коэффициента теплопроводности: [λ] = Дж / (м·с·К). Для наших целей важно, что сюда входит единица времени. Это позволяет из всех перечисленных величин ρ, c, h, λ составить комбинацию, имеющую размерность времени:

\(~\tau \sim \frac{\rho c}{\lambda} h^2\) .

Для чего? А для того чтобы узнать глубину \(~h_{\frac T2}\), на которую «дойдет» температура, полгода назад (\(~\tau = \frac{T}{2}\)) бывшая на поверхности Земли. Отсюда получим

\(~h_{\frac T2} \sim \sqrt{\frac{\lambda}{\rho c} \frac T2}\) . (2)

Конечно, физические свойства «земли», «почвы» чрезвычайно разнообразны - наверняка суглинок, чернозем и гранит отличны друг от друга по плотности, теплоемкости и теплопроводности. Но для комплекса \(~a = \frac{\lambda}{\rho c}\) можно принять некое «среднее» значение 2·10^-7 м²/с, этот комплекс так прямо и называется температуропроводностью. А сколько секунд содержит один год? Посчитаем:

Т = 3600 с/ч · 24 ч/сут · 365 сут ≈ 3·10⁷с.

Подставляя все это в полученную для \(~h_{\frac T2}\) формулу, имеем оценку

\(~h_{\frac T2} \sim \sqrt{\frac{aT}{2}} = \sqrt{\frac{2 \cdot 10^{-7} \cdot 3 \cdot 10^7}{2}}\) ~ 2 м. (2)

Разумеется, это всего лишь оценка по порядку величины, но и она говорит о том, почему древние греки зарывали сосуды глубже своего роста - там проходит волна холода от прошлой зимы, когда наповерхности царит лето.

На рисунке качественно изображена «мгновенная картина» распределения температуры по глубине. Но почему колебания температуры постепенно уменьшаются с глубиной? Все из-за той же теплопроводности: с одной стороны, она позволяет тепловой энергии проникать внутрь земли, а с другой - она же способствует «рассасыванию горбов и впадин» температуры. В частности, по «склону» АВ тепловая энергия течет вглубь, а по склону DC - вверх, согласно соотношению (1).

Аналогичную мгновенную картину распределения температуры можно нарисовать и для звуковой волны в воздухе. К счастью, при тех частотах, на которых мы общаемся друг с другом или слушаем музыку, теплопроводность воздуха не играет большой роли: его последовательные сжатия и разрежения происходят так быстро, что теплопроводность не успевает сгладить «горбы и впадины» температуры. Или, как сказал бы физик, дисперсия и затухание акустической волны незначительны. Но об этом ли думал древний грек, зарывая амфору?..