Kvant. Электрические машины

Бакунин Г. Электрические машины и выбор режима //Квант. — 2006. — № 5. — С. 29-30.

По специальной договоренности с редколлегией и редакцией журнала "Квант"

Аналогия — один из важнейших инструментов исследования. Это неоднократно подчеркивалось как известными учеными, так и историками науки. Воспользуемся этим инструментом и обсудим сходство и различие «мощностных» характеристик хорошо известных электрических устройств.

Рис. 1

Рассмотрим простейшую электрическую цепь — модель электронагревателя, состоящую из источника, имеющего ЭДС ε и внутреннее сопротивление r, и нагрузки — резистора сопротивлением R (рис.1). Вычислим полезную мощность такого устройства, опираясь на закон Ома:

\(~I = \frac{\varepsilon}{r + R}\) , \(~P = I^2R = \frac{\varepsilon^2}{(r + R)^2} R\) .

Рис. 2

График зависимости P(R) приведен на рисунке 2. Несложно заметить, что график обладает максимумом, т.е. имеются две возможности обеспечить полезную мощность P₀ устройства в зависимости от внешней нагрузки R₁ или R₂. Большему значению R при этом соответствует меньшее значение тока в цепи.

Таким образом, даже в простейшей электрической машине — электронагревательном приборе — существует возможность выбора режима работы.

Более сложной оказывается ситуация в случае электрического мотора постоянного тока. Здесь в цепи якоря генерируется индукционная ЭДС ε_i, и закон Ома записывается в виде

\(~U - \varepsilon_i = IR\) ,

где U — внешнее напряжение, а R — сопротивление якоря. Естественно предположить, что индуцированная ЭДС пропорциональна частоте вращения ω якоря:

\(~\varepsilon_i = \Phi_0 \omega\) ,

где Φ₀ — размерный коэффициент, равный максимальному потоку магнитной индукции через рамку якоря. Анализ выражения для полной мощности:

\(~UI = \varepsilon_iI + I^2R\)

показывает, что полезная мощность связана с членом ε_iI, где ток якоря I зависит линейно от частоты вращения ω:

\(~I = I(\omega) = \frac{U - \varepsilon_i(\omega)}{R} = \frac{U - \Phi_0 \omega}{R}\) .

Таким образом, зависимость полезной мощности электрической машины постоянного тока от частоты вращения якоря имеет вид

\(~P(\omega) = \varepsilon_i(\omega)I(\omega) = \frac{\Phi_0}{R} (\omega(U - \Phi_0 \omega))\) .

Здесь, как и в предыдущем случае, виден максимум мощности, однако теперь выбор режима зависит от частоты (рис.3).

Рис. 3

Заметим, что нагрузка в данной задаче связана с вращательным моментом, который способен создать электромотор:

\(~M(\omega) = \frac{P(\omega)}{\omega} = \frac{\Phi_0}{R} (U - \Phi_0 \omega)\) .

Стабильная работа мотора обеспечивается балансом этого момента и момента M₀, создаваемого внешней нагрузкой. Например, если мотор равномерно поднимает на веревке груз, то момент нагрузки равен произведению силы натяжения веревки, которая равна весу груза, на радиус вала. Холостой ход электрической машины соответствует значению M₀ = 0. В случае ненулевой нагрузки частота вращения ω_* определяется балансом моментов (рис.4):

\(~M(\omega_*) = M_0\) .

Рис. 4

Что же получается, электрический мотор сам выбирает понравившуюся ему мощность? Действительно, если момент нагрузки меньше момента, создаваемого мотором, то ротор раскручивается все сильнее и сильнее, пока частота не достигнет значения ω_*. В противоположном случае, когда момент нагрузки больше момента, создаваемого мотором, ротор тормозится до тех пор, пока баланс моментов не восстановится. Иными словами, значение ω_* соответствует положению устойчивого равновесия. Следовательно, несмотря на формальную возможность выбора частоты вращения ротора для заданной величины полезной мощности P₀, ротор раскручивается до тех пор (до такой частоты ω_*), пока не выполнится условие равенства моментов. Мощность в этом случае определяется внешней нагрузкой M₀:

\(~P_* = M_0\omega(M_0) = M_0 \left( \frac{U}{\Phi_0} - \frac{RM_0}{\Phi^2_0}\right) = \frac{M_0}{\Phi_0} \left( U - \frac{R}{\Phi_0} M_0\right)\) .

Этот простой пример показывает, как непросто навязать свою волю машинам, даже если это всего лишь электрические машины постоянного тока.