Kvant. Дело - труба

Дроздов В. Дело - труба //Квант. — 2003. — № 5. — С. 30.

По специальной договоренности с редколлегией и редакцией журнала "Квант"

Как-то зимой я услышал в «последних известиях» уже не удивляющее сообщение о лопнувших отопительных системах, что и послужило импульсом к написанию этой заметки.

Зададимся вопросом: реально ли создать стальную трубу, которая не лопнет при замерзании в ней воды? Заметим, что работники жилищно-коммунального хозяйства говорят почему-то наоборот: разморозить трубы. Видимо, таков их профессиональный термин.

Допустим, что вода в трубе все же замерзла. Физически ясно, что относительное линейное удлинение ε льда и трубы одно и то же. Поскольку плотность воды равна ρ_v = 1000 кг/м³, а плотность льда составляет ρ_l = 900 кг/м³ (при нормальном атмосферном давлении), то относительное увеличение объема льда будет равно \(~\frac{10}{9} - 1 = \frac 19\). Так как труба длинная и цилиндрическая, а расширение носит радиальный характер, то должно выполняться равенство

\(~\frac{\pi(R + \Delta R)^2 - \pi R^2}{\pi R^2} = \frac 19\) ,

где R - радиус трубы, ΔR - его увеличение. Отсюда легко получаем

\(~\varepsilon = \frac{\Delta R}{R} = \frac 12 \cdot \frac 19 = \frac{1}{18}\) .

Согласно закону Гука, возникшее при замерзании воды механическое напряжение в стальной стенке трубы равно

\(~\sigma = \varepsilon E\) ,

где Е = 200 ГПа - модуль Юнга для стали. Получаем σ = 11 ГПа, что значительно больше, чем предел прочности стали на разрыв σ_пр =0,60 ГПа. Следовательно, если уж вода в трубе замерзнет, то последняя неизбежно лопнет, что и подтверждается печальными «опытами». (Конечно, это только оценка по порядку величины, поскольку при расчетах не учитывались различные превходящие обстоятельства, например увеличение плотности льда по мере роста внешнего давления.)

Если же сделать трубу толстой, это ничего не даст даже в случае, когда трещины, в которые углубится лед, дойдут не до конца. Труба при этом утратит прочность и в следующий раз при замерзании воды непременно лопнет. Но самое главное, что толстая труба будет и дорогой, и тяжелой. Ну а расчет толстой трубы весьма сложен (он ближе к сопромату, чем к чистой физике). Рассчитать же тонкую трубу, толщина которой h << R, можно и в рамках школьного курса физики.

Свяжем величины R и h с давлением в трубе р и механическим напряжением в стенке трубы σ. Мысленно выделим малый участок трубы, опирающийся на достаточно малый центральный угол α (см. рисунок). Поскольку этот участок трубы находится в равновесии, сумма сил, действующих на него, равна нулю:

\(~\vec F_1 + \vec F_2 + \vec F = 0\) .

Здесь \(~\vec F_1\) и \(~\vec F_2\) -силы, растягивающие выделенный участок трубы соседними участками, \(~\vec F\) — сила давления льда на участок. Проецируя векторное равенство на направление силы \(~\vec F\), получим

\(~F_1 \cos \left( \frac{\pi}{2} + \frac{\alpha}{2} \right) + F_2 \cos \left( \frac{\pi}{2} + \frac{\alpha}{2} \right) + F = 0\) . (*)

Из соображений симметрии следует, что F₂ = F₁. Если труба имеет длину l, то

\(~F_2 = F_1 = \sigma hl\) ,

а

\(~F = PS\) ,

где S = ll₁ - площадь рассматриваемого участка Из формулы (*) выводим последовательно

\(~\begin{matrix} -2F_1 \sin \frac{\alpha}{2} + F = 0 \\ -2\sigma hl \sin \frac{\alpha}{2} + pll_1 = 0 \\ -2\sigma h \sin \frac{\alpha}{2} + pR \alpha = 0 \end{matrix}\) .

При малых углах α (а α действительно можно представлять сколь угодно малым) справедливо приближенное равенство \(~\sin \frac{\alpha}{2} = \frac{\alpha}{2}\). Следовательно,

\(~\alpha(-\sigma h + pR) = 0\) ,

откуда получаем

\(~\frac{p}{\sigma} = \frac hR\) .

А теперь можно ответить вот на какой интересный вопрос: начиная с какой температуры возникает опасность разрушения трубы? Из справочника (см. «Справочник по физике» А.С.Еноховича, М.: Просвещение, 1990, с. 144) возьмем фрагмент таблицы «Температура плавления некоторых веществ при различном давлении р», относящийся ко льду:

t, °с	0	-1	-5	-10	-20
р, МПа	0,1	13	61	113	197

Примем, что трубу с отношением \(~\frac hR = 0,15\) еще можно считать тонкой. Тогда, полагая σ = σ_пр = 0,60 ГПа , получим р = 90 МПа. Это означает, что трубе грозит разрыв уже при переходе от -5 °С к -10 °С. Но трубы обычно быстро зашлаковываются, т.е. забиваются, если они не совсем новые, - ведь через них циркулирует отнюдь не дистиллированная вода. Учесть это количественно не представляется возможным, хотя ясно, что зашлакованная труба выдержит несколько больший мороз - поскольку воды в ней меньше. Реальная жизнь показывает, что переход от -10 °С к -20 °С для трубы с замерзающей водой «смертелен».

Так что не надо «размораживать» батареи!