Kvant. Механический генератор

Дроздов В. Механический генератор //Квант. — 2008. — № 5. — С. 37-38.

По специальной договоренности с редколлегией и редакцией журнала "Квант"

Во многих задачниках по физике можно встретить такую задачу: «Сплошной металлический цилиндр радиусом R вращается с постоянной угловой скоростью ω. Найдите зависимость напряженности электрического поля от расстояния r до оси цилиндра и разность потенциалов между поверхностью цилиндра и его осью».

Сначала приведем решение этой задачи в общем виде. Поскольку внутри металлического цилиндра имеются свободные электроны, при его вращении они будут отбрасываться к краям цилиндра, В результате вблизи оси концентрация электронов понизится, а на краях - повысится, т.е. внутри цилиндра возникнет электрическое поле, направленное от оси к периферии. Равновесие установится тогда, когда образовавшееся поле Ε будет в состоянии подействовать на каждый электрон с такой силой, чтобы он двигался по окружности с угловой скоростью ω.

Рис. 1

Пусть некий электрон движется по окружности радиусом r, 0 < r < R (рис. 1). Тогда по второму закону Ньютона имеем

\(~m \omega^2 r = Ee\) ,

где m - масса, e - заряд электрона. Отсюда находим

\(~E = \frac{m \omega^2}{e} r\) .

Понятно, что векторы силы \(~\vec F\), действующей на электрон, и напряженности электрического поля \(~\vec E\) направлены противоположно.

Видим, что возникшее электрическое поле неоднородно, оно растет пропорционально расстоянию r от оси цилиндра. Так как вектор \(~\vec E\) всегда направлен в сторону уменьшения потенциала, то потенциал φ₁ на оси цилиндра больше потенциала φ₂ на его поверхности. При этом искомая величина φ₁ - φ₂ численно равна заштрихованной «площади» под графиком зависимости Ε(r), изображенным на рисунке 2:

Рис. 2

\(~\varphi_1 - \varphi_2 = \frac 12 R \cdot E(R) = \frac 12 R \cdot \frac{m \omega^2 R}{e} = \frac{m \omega^2 R^2}{2e}\) .

Задача в общем виде решена. Однако конечной целью физических расчетов является число. Интересно оценить порядок электрической мощности, возникающей при вращении цилиндра, фактически являющегося механическим генератором электроэнергии.

В формуле для разности потенциалов введем для удобства удельный заряд электрона \(~\frac em = \gamma\) = 1,76·10¹¹ Кл/кг и учтем, что \(~\omega R = \upsilon\) - это линейная скорость точек поверхности цилиндра. Тогда получим

\(~\varphi_1 - \varphi_2 = \frac{\upsilon^2}{2\gamma}\) .

Оцепим максимально возможную величину скорости υ, используя соображения размерностей. Ясно, что она зависит от предела прочности материала цилиндра σ и от его плотности D. Запишем это так:

\(~\upsilon \sim \sigma^{\alpha} \cdot D^{\beta}\) .

Выпишем единицы измерения всех величии:

[υ] = м·с^-1, [σ] = Па = Н/м² = кг·м^-1·с^-2, [D] = кг·м^-3.

Так как обе части формулы для υ измеряются в одних и тех же единицах, приходим к равенству

м·с^-1 = кг^α·м^-α·с^-2α·кг^β·м^-3β,

или

м·с^-1 = м^{-α - 3β}·с^-2α·кг^{α + β}.

Для определения α и β получаем систему уравнений

\(~\left\{\begin{matrix} -\alpha - 3\beta = 1 \\ -2\alpha = -1 \\ \alpha + \beta = 0 \end{matrix}\right.\) ,

из которой находим

\(~\alpha = \frac 12 ; \beta = -\frac 12 \) .

Теперь формула для скорости принимает вид

\(~\upsilon \sim \sqrt{\frac{\sigma}{D}}\) ,

а формула для разности потенциалов выглядит так:

\(~\varphi_1 - \varphi_2 \sim \frac{\sigma}{\gamma D}\) .

Вспомним формулу электрического сопротивления R_el, провода длиной l и площадью поперечного сечения S:

\(~R_{el} = \rho \frac{l}{S}\) ,

где ρ - удельное сопротивление материала провода. С ее помощью оценим сопротивление R_el нашего цилиндра. Если его высота h, то S ~ Rh, значит,

\(~R_{el} \sim \rho \frac{R}{Rh}\) , или \(~R_{el} \sim \frac{\rho}{h}\) .

Выделяемая в проводнике электрическая мощность равна

\(~P \sim \frac{(\varphi_1 - \varphi_2)^2}{R_{el}}\) .

С учетом предыдущих формул окончательно получаем

\(~P \sim \frac{\sigma^2 h}{\gamma^2 D^2 \rho}\) .

Обратим внимание: в этой формуле радиус цилиндра R отсутствует, а присутствует фактически одна переменная - h. Остальные величины характеризуют материал цилиндра. Например, для рельсовой стали σ = 7,5·10⁸ Па , D = 7,9·10³ Кг/м³, ρ = 1,2·10^-7 Ом·м. Пусть h = 1 см, ибо слишком высокий цилиндр будет чересчур тяжелым.

Тогда вычисления дают такой результат:

P ~ 24 нВт.

Получили нановатты. Легко подсчитать, что механический генератор, вращающимся на пределе возможного разрушения, выработает одни джоуль электроэнергии за 1,3 года.

Интуитивно было ясно, что вращающийся цилиндр как источник электричества крайне неэффективен — иначе так получали бы электроэнергию, И все же, как интересно и поучительно подтвердить это физическим расчетом.