SA. Конденсаторы

Электроемкость

• Электроемкость характеризует способность проводников или системы из нескольких проводников накапливать электрические заряды, а, следовательно, и электроэнергию, которая в дальнейшем может быть использована, например, при фотосъемке (вспышка) и т.д.

• Еще в середине XVIII в. считалось, что электричество — это особая жидкость, содержащаяся в любом заряженном теле. Если заряд тела уменьшался, то это объясняли «испарением» этой жидкости. Для уменьшения «испарения» (сохранения заряда) предлагали поместить заряженное тело в какую-нибудь емкость — электроемкость.

Различают электроемкость уединенного проводника, системы проводников (в частности, конденсаторов).

Электроемкость уединенного проводника

• Уединенным называется проводник, расположенный вдали от других заряженных и незаряженных тел так, что они не оказывают на этот проводник никакого влияния.

• Электроемкость уединенного проводника — физическая величина, равная отношению электрического заряда уединенного проводника к его потенциалу:

\(~C = \dfrac{q}{\varphi}\) или \(~C = \dfrac{\Delta q}{\Delta \varphi}\).

В СИ единицей электроемкости является фарад (Ф).

• 1 Ф — это электроемкость такого проводника, потенциал которого изменяется на 1 В при сообщении ему заряда в 1 Кл.

Поскольку 1 Ф очень большая единица емкости, применяют дольные единицы:

1 пФ (пикофарад) = 10^-12 Ф, 1 нФ (нанофарад) = 10^-9 Ф, 1 мкФ (микрофарад) = 10^-6 Ф и т.д.

Электроемкость проводника не зависит от рода вещества и заряда, но зависит от его формы и размеров, а также от наличия вблизи диэлектрика.

Если уединенным проводником является заряженная сфера, то потенциал поля на ее поверхности

\(~\varphi = \dfrac{q}{4 \pi \cdot \varepsilon_0 \cdot \varepsilon \cdot R} = \dfrac{k \cdot q}{\varepsilon \cdot R}\),

где R — радиус сферы, ε — диэлектрическая проницаемость среды, в которой находится проводник. Тогда электроемкость уединенного сферического проводника

\(~C = \dfrac{q}{\varphi} = 4 \pi \cdot \varepsilon_0 \cdot \varepsilon \cdot R = \dfrac{\varepsilon \cdot R}{k}.\)

• Электроемкость сферы размерами с Землю равна всего 709 мкФ.

  Электроемкость сферы равна 1 Ф, если радиус сферы в 1400 раз больше радиуса Земли, т.е. R = 9⋅10¹² м.

Электроемкость двух проводников

Обычно на практике имеют дело с двумя и более проводниками. Рассмотрим два проводника произвольной формы, находящиеся в однородном диэлектрике. Сообщим им заряды +q и –q. При этом между проводниками установится некоторая разность потенциалов (напряжение): φ₁ – φ₂ = U.

Эксперимент показывает, что увеличение заряда каждого проводника, например, в 2 раза приводит к увеличению напряжения между ними также в 2 раза, т.е. отношение \(\dfrac{q}{U}\) для данной пары проводника остается постоянным:

\(\dfrac{q_1}{U_1} = \dfrac{q_2}{U_2} = \ldots = const = C.\)

• Электроемкость двух проводника — физическая величина, равная отношению электрического заряда одного из проводников к разности потенциалов (напряжению) между ними

\(~C = \dfrac{q}{\varphi_1 - \varphi_2} = \dfrac{q}{U}. \)

Электроемкость двух проводников зависит от формы и размеров проводников, от их взаимного расположения и относительной диэлектрической проницаемости среды, заполняющей пространство между ними.

Конденсаторы

Для практического использования электрической энергии необходимо уметь ее накапливать. Для этого используют специальные устройства — конденсаторы.

• Конденсаторы — это устройства, которые состоят из двух или более проводников, разделенных тонким слоем диэлектрика.

Проводники, из которых состоит конденсатор, называются обкладками.

Как правило, при зарядке конденсатора заряды его обкладок равны по величине и противоположны по знаку. Под зарядом конденсатора понимают значение заряда положительно заряженной обкладки.

• Термин «конденсатор» от латинского слова condensare — сгущать ввел А.Вольта (итальянский физик) в 1782 г. Первые электрические конденсаторы были изготовлены Э.Клейстом и П. Ван Мушенбреком в 1745 г. По имени города Лейдена, где работал Мушенбрек, французкий физик Жан Нолле назвал их лейденскими банками.

При небольших размерах конденсатор отличается значительной емкостью, не зависящей от наличия вблизи него других зарядов или проводников.

• Электроемкостью конденсатора называют физическую величину, численно равную отношению заряда конденсатора к разности потенциалов между его обкладками:

\(~C = \dfrac{q}{\varphi_1 - \varphi_2}\) или \(~C = \dfrac qU .\)

• Из этой формулы видно, что чем больше напряжение между обкладками конденсатора, тем больше на них заряд. Но для каждого конденсатора существует предельное (максимальное) напряжение, выше которого диэлектрик начнет разрушаться. При этом заряды обкладок конденсатора мгновенно нейтрализуются, происходит пробой, т.е. конденсатор выходит из строя.

Виды конденсаторов

Конденсаторы можно классифицировать по следующим признакам и свойствам:

• по форме обкладок различают конденсаторы плоские, сферические, цилиндрические и др.;
• по типу диэлектрика (рис. 1) —бумажные (а), воздушные (б), слюдяные, керамические, электролитические (в) и т.д.;
• по рабочему напряжению — низковольтные (напряжение пробоя до 100 В) и высоковольтные (выше 100 В);
• по возможности изменения своей емкости — постоянной емкости (см. рис. 1, а, в), переменной емкости (см. рис. 1, б), подстроечные (рис. 2).

• 

  а
• 

  б
• 

  в

Рис. 1

• 

  Рис. 2
• 

  Рис. 3

Другие виды конденсаторов показаны на рисунке 3.

См. так же Wikipedia Классификация конденсаторов

Электроемкость плоского конденсатора C зависит от площади обкладок S, расстояния между ними d и диэлектрической проницаемости диэлектрика ε, заполняющего пространство между обкладками конденсатора, но не зависит от материала, из которого эти пластины изготовлены

\(~C = \dfrac{\varepsilon_0 \cdot \varepsilon \cdot S}{d},\)

где ε₀ - электрическая постоянная.

*Вывод формулы

Поле плоского конденсатора можно рассматривать как совокупность полей двух бесконечных разноименно заряженных плоскостей (рис. 2, а и б). Напряженность поля (рис. 2, в) можно найти по принципу суперпозиции:

\(\vec{E}=\vec{E}_{1} +\vec{E}_{2},\)

где \( E_{1} = E_{2} =\dfrac{\sigma }{2\varepsilon _{0} \cdot \varepsilon } =\dfrac{q}{2\varepsilon _{0} \cdot \varepsilon \cdot S}\) — напряженности электрических полей каждой из обкладок конденсатора, σ — поверхностная плотность заряда на обкладках конденсатора. Тогда в проекциях на ось 0Х:

справа и слева от пластин — \(E_х = 0\);

между пластин — \(E=2E_{1} =\dfrac{q}{\varepsilon _{0} \cdot \varepsilon \cdot S}.\)

• 

  а
• 

  б
• 

  в

Рис. 4

Электроемкость плоского конденсатора \(~C = \dfrac qU\), где \(U = E \cdot d,\) d — расстояние между пластин. Следовательно,

\(C =\dfrac{q}{E\cdot d} = \dfrac{q}{d} \cdot \dfrac{1}{E} = \dfrac{q}{d} \cdot \dfrac{\varepsilon _{0} \cdot \varepsilon \cdot S}{q} = \dfrac{\varepsilon _{0} \cdot \varepsilon \cdot S}{d}.\).

Применение конденсаторов

Конденсаторы находят широкое применение во многих областях радио- и электротехники.

• При быстром разряде конденсатора можно получить импульс большой мощности, например, в фотовспышках, электромагнитных ускорителях, импульсных лазерах и т. п.
• Так как конденсатор способен длительное время сохранять заряд, то его можно использовать в качестве элемента памяти или устройства хранения электрической энергии.
• Емкость конденсатора заметно изменяется при малейших изменениях параметра конденсатора. Так малое изменение расстояния между обкладками учитывается в измерителях малых перемещений, изменение состава диэлектрика при изменении влажности фиксируется в измерителях влажности, учет изменения высоты диэлектрика между обкладками конденсатора позволяет измерять уровень жидкости и т.п.
• Конденсаторы (совместно с катушками индуктивности и/или резисторами) используются для построения различных цепей с частотно-зависимыми свойствами, в частности, фильтров, цепей обратной связи, колебательных контуров и т. п.

Соединения конденсаторов

Для получения необходимой емкости конденсаторы соединяют между собой в батареи, применяя при этом параллельное, последовательное и смешанное соединения.

Параллельное соединение

При параллельном соединении конденсаторов одни обкладки всех конденсаторов соединяются в один узел, другие — в другой узел (рис. 5).

Рис. 5

Общий заряд равен алгебраической сумме зарядов каждой из обкладок отдельных конденсаторов:

\(~q = q_1 + q_2 + q_3.\)

Так как соединенные обкладки представляют собой один проводник, то потенциалы всех соединенных в один узел обкладок одинаковы и разность потенциалов между обкладками всех конденсаторов одинакова:

\(~U_1 = U_2 = U_3.\)

Так как q = C∙U, q₁ = C₁∙U, q₂ = C₂∙U, q₃ = C₃∙U, то \(~C \cdot U = C_1 \cdot U + C_2 \cdot U + C_3 \cdot U \Rightarrow\)

\(~C = C_1 + C_2 + C_3, \ C = \sum_{i=1}^n C_i .\)

Емкость батареи параллельно соединенных конденсаторов равна сумме емкостей отдельных конденсаторов.

Если параллельно соединяют n одинаковых конденсаторов, то

\(~C = n \cdot C_1 .\)

Последовательное соединение

При последовательном соединении конденсаторов (рис. 6) потенциал соединенных между собой обкладок конденсаторов одинаков.

Рис. 6

Если сообщить одной из обкладок первого конденсатора заряд +q, то у второй обкладки будет заряд -q, у соседней обкладки второго конденсатора заряд +q и т.д. Следовательно,

\(~q = q_1 = q_2 = q_3.\)

Напряжение на батарее равно сумме напряжений на всех конденсаторах:

\(~U = U_1 + U_2 + U_3.\)

Так как \(~U = \dfrac qC\) ; \(~U_1 = \dfrac{q}{C_1}\) ; \(~U_2 = \dfrac{q}{C_2}\) ; \(~U_3 = \dfrac{q}{C_3}\) , то \(~\dfrac{q}{C} = \dfrac{q}{C_1} + \dfrac{q}{C_2} + \dfrac{q}{C_3} \Rightarrow\)

\(~\dfrac{1}{C} = \sum_{i=1}^n \dfrac{1}{C_i} .\)

Величина, обратная емкости батареи последовательно соединенных конденсаторов, равна сумме величин, обратных емкостям отдельных конденсаторов.

Если последовательно соединены n одинаковых конденсаторов, то \(~C = \dfrac{C_1}{n}\).

Энергия электростатического поля

Если к пластинам заряженного конденсатора присоединить лампочку, то она вспыхнет, а конденсатор разрядится, и электростатическое поле между его пластинами исчезнет. Следовательно, электростатическое поле конденсатора обладает энергией, которая и превратилась в световую.

Рассчитаем энергию заряженного конденсатора, заряд которого q, напряжение на конденсаторе U, емкость С.

В процессе разрядки конденсатора разность потенциалов между обкладками равномерно убывает от U до нуля, среднее же значение разности потенциалов равно \(~ \left\langle U \right\rangle = \dfrac U2\).

Тогда работа A, совершаемая электрическим полем при разряде конденсатора,

\(~A = q \cdot \left\langle U \right\rangle = \dfrac{q \cdot U}{2} = \dfrac{C \cdot U^2}{2} = \dfrac{q^2}{2C} ,\)

а энергия, которой обладает заряженный конденсатор, равна этой работе.

Этой энергией обладает электростатическое поле конденсатора. Выразим ее через характеристики поля. Подставив в формулу \(~W_e = \dfrac{C \cdot U^2}{2}\) выражение \(~C = \dfrac{\varepsilon_0 \cdot \varepsilon \cdot S}{d}\) , а также U = E∙d, имеем

\(~W_e = \dfrac{C \cdot E^2 \cdot d^2}{2} = \dfrac{\varepsilon_0 \cdot \varepsilon \cdot S \cdot E^2 \cdot d^2}{2d} = \dfrac{\varepsilon_0 \cdot \varepsilon \cdot E^2}{2} \cdot S \cdot d = \dfrac{\varepsilon_0 \cdot \varepsilon \cdot E^2}{2} \cdot V .\)

Энергия однородного поля пропорциональна объему, занимаемому полем. В связи с этим говорят об энергии единицы объема поля (объемной плотности энергии — ω_e). \(~\omega_e = \dfrac{W_e}{V}\). В СИ единицей объемной плотности энергии является джоуль на кубический метр (Дж/м³).

Тогда

\(~\omega_e = \dfrac{\varepsilon_0 \cdot \varepsilon \cdot E^2}{2} .\)

Полученная формула справедлива не только для однородного электростатического поля, но и для любого другого электростатического поля, а также и для переменного электрического поля.

Литература

1. Аксенович Л. А. Физика в средней школе: Теория. Задания. Тесты: Учеб. пособие для учреждений, обеспечивающих получение общ. сред, образования / Л. А. Аксенович, Н.Н.Ракина, К. С. Фарино; Под ред. К. С. Фарино. — Мн.: Адукацыя i выхаванне, 2004. — C. 236-237, 240-242, 245.
2. Жилко, В. В. Физика: учеб. пособие для 11-го кл. общеобразоват. учреждений с рус. яз. обучения с 12-летним сроком обучения (базовый и повышенный уровни) /В. В. Жилко, Л. Г. Маркович. — 2-е изд., исправленное. — Минск: Нар. асвета, 2008. — С. 105-115.