Просмотр исходного текста страницы А. Гармонические колебания

У вас нет прав на редактирование этой страницы по следующей причине:

---

Вы можете просмотреть и скопировать исходный текст этой страницы.

==Гармонические колебания== Простейшим видом колебаний являются ''гармонические колебания'' — колебания, при которых смещение колеблющейся точки от положения равновесия изменяется с течением времени по закону синуса или косинуса. Так, при равномерном вращении шарика по окружности его проекция (тень в параллельных лучах света) совершает на вертикальном экране (рис. 13.2) гармо-ническое колебательное движение. Смещение от положения равновесия при гармонических колебаниях описывается уравнением (его называют кинематическим законом гармонического движения) вида: <center><math>x = A \cos \Bigr( \frac{2 \pi}{T}t + \varphi_0 \Bigl)</math> или <math>x = A \sin \Bigr( \frac{2 \pi}{T}t + \varphi'_0 \Bigl)</math></center> где ''х'' — смешение — величина, характеризующая положение колеблющейся точки в момент времени ''t'' относительно положения равновесия и измеряемая расстоянием от положения равновесия до положения точки в заданный момент времени; ''А'' — амплитуда колебаний — максимальное смещение тела из положения равновесия; ''Т'' — период колебаний — время совершения одного полного колебания; т.е. наименьший промежуток времени, по истечении которого повторяются значения физических величин, характеризующих колебание; <math>\varphi_0</math> — начальная фаза; <math>\varphi = \frac{2 \pi}{T}t + \varphi'_0</math> — фаза колебании в момент времени ''t''. Фаза колебаний — это аргумент периодической функции, который при заданной амплитуде колебаний определяет состояние колебательной системы (смещение, скорость, ускорение) тела в любой момент времени. Если в начальный момент времени ''t₀= 0'' колеблющаяся точка максимально смещена от положения равновесия, то <math>\varphi_0 = 0</math>, а смещение точки от положения равновесия изменяется по закону <center><math>x = A \cos \frac{2 \pi}{T}t.</math></center> Если колеблющаяся точка при t₀ = 0 находится в положении устойчивого равновесия, то смещение точки от положения равновесия изменяется по закону <center><math>x = A \sin \frac{2 \pi}{T}t.</math></center> Величину ''V'', обратную периоду и равную числу полных колебаний, совершаемых за 1 с, называют ''частотой колебаний:'' <center><math>\nu = \frac{1}{T} </math>(в СИ единицей частоты является герц, 1Гц = 1с^-1).</center> Если за время ''t'' тело совершает ''N'' полных колебаний, то <center><math>T = \frac{t}{N} ; \nu = \frac{N}{t}.</math></center> Величину <math>\omega = 2 \pi \nu = \frac{2 \pi}{T}</math> , показывающую, сколько колебаний совершает тело за 2 <math>\pi</math> ''с'', называют ''циклической (круговой) частотой.'' Кинематический закон гармонического движения можно записать в виде: <center><math>x = A \cos(2\pi \nu t + \varphi_0), x = A \cos(\omega t + \varphi_0).</math></center> Графически зависимость смещения колеблющейся точки от времени изображается косинусоидой (или синусоидой). На рисунке 13.3, а представлен график зависимости от времени смещения колеблющейся точки от положения равновесия для случая <math>\varphi_0=0</math>, т.е. <math>~x=A\cos \omega t.</math> [[Изображение:aksen-13.3.jpg|900px|center|thumb|<center> Рис. 13.3 </center>]] Выясним, как изменяется скорость колеблющейся точки со временем. Для этого найдем производную по времени от этого выражения: <center><math>\upsilon_x = x' A \sin \omega t = \omega A \cos \Bigr( \omega t + \frac{\pi}{2} \Bigl) ,</math></center> где <math>~\omega A = |\upsilon_x|_m</math>— амплитуда проекции скорости на ось ''х''. Эта формула показывает, что при гармонических колебаниях проекция скорости тела на ось х изменяется тоже по  гармоническому закону с той же частотой, с другой амплитудой и опережает по фазе смешение на <math>\frac{\pi}{2}</math> (рис. 13.3, б). Для выяснения зависимости ускорения ''a_x(t)'' найдем производную по времени от проекции скорости: <center><math>~ a_x = \upsilon_x' = -\omega^2 A \cos \omega t = \omega^2 \cos(\omega t + \pi),</math></center> где <math>~\omega^2 A = |a_x|_m</math> — амплитуда проекции ускорения на ось ''х.'' При гармонических колебаниях проекция ''ускорения'' опережает смещение по фазе на к (рис. 13,3, в). Аналогично можно построить графики зависимостей <math>~x(t), \upsilon_x (t)</math> и <math>~a_x(t),</math> если <math>~x = A \sin \omega t</math> при <math>\varphi_0=0.</math> Учитывая, что <math>A \cos \omega t = x</math>, формулу для ускорения можно записать <center><math>~a_x = - \omega^2 x,</math></center> т.е. при гармонических колебаниях проекция ускорения прямо пропорциональна смещению и противоположна ему по знаку, т.е. ускорение направлено в сторону, противоположную смещению. Так, проекция ускорения — это вторая производная от смещения '' а_x=х' ' '', то полученное соотношение можно записать в виде: <center><math>~a_x + \omega^2 x = 0</math> или <math>~x'' + \omega^2 x = 0.</math></center> Последнее равенство называют ''уравнением гармонических колебаний.'' Физическую систему, в которой могут существовать гармонические колебания, называют ''гармоническим осциллятором,'' а уравнение гармонических колебаний — ''уравнением гармонического осциллятора.'' ==Литература== Аксенович Л. А. Физика в средней школе: Теория. Задания. Тесты: Учеб. пособие для учреждений, обеспечивающих получение общ. сред, образования / Л. А. Аксенович, Н.Н.Ракина, К. С. Фарино; Под ред. К. С. Фарино. — Мн.: Адукацыя i выхаванне, 2004. — С. 368-370. [[Категория: Механические колебания]] [[Category:Аксенович Л.А. Физика]]

Возврат к странице А. Гармонические колебания.