КС. Электростатика

Электрический заряд

\(~q = N \cdot e\) ,

где q – значение заряда тела (Кл), N – число элементарных зарядов, е – элементарный заряд, равный 1,6·10^-19 Кл.

Если тело имеет избыточные (лишние) электроны, то тело заряжено отрицательно, если у тела недостаток электронов, то тело заряжено положительно.

И наоборот, если заряд тела отрицательный, то тело имеет избыточные (лишние) электроны, если заряд тела положительный, то у тела недостаток электронов.

Полный электрический заряд (q) системы равен алгебраической сумме ее положительных и отрицательных зарядов (q₁, q₂, …, q_N):

q = q₁ + q₂ + … + q_N .

Если заряд тела q рассоединить на несколько (N) одинаковых тел, то полученные заряды q₀ будут равны между собой, т.е.

\(~q_0 = \frac{q}{N}\) .

Закон Кулона

\(~F = k \cdot \frac{|q_1| \cdot |q_2|}{r^2}\) ,

где F – сила электростатического взаимодействия двух точечных зарядов, расположенных в вакууме (Н), k – коэффициент пропорциональности, равный \(~\frac{1}{4 \pi \cdot \varepsilon_0}\) ; k = 9·10⁹ Н·м²/Кл², q₁ и q₂ – значения точечных неподвижных зарядов (Кл), r – расстояние между точечными зарядами (м), ε₀ – электрическая постоянная, равная 8,85·10^-12 Кл²/Н·м².

Заряд электрона будем считать точечным. В задачах часто название «точечный заряд» сокращают – «заряд».

Силы электростатического взаимодействия направлены вдоль линии, соединяющей взаимодействующие точечные заряды, равны по величине, но противоположны по направлению.

Одноименные заряды отталкиваются, разноименные заряды притягиваются.

Напряженность электростатического поля

\(~\vec E = \frac{\vec F}{q}\) ,

где \(~\vec E\) – напряженность электрического поля в данной точке пространства (Н/Кл или В/м), \(~\vec F\) – сила, с которой электрическое поле действует на заряд q, помещенный в данную точку пространства (Н), q – заряд (Кл).

• Если заряд q > 0, то напряженность поля направлена в ту же сторону, что и сила, с которой электрическое поле действует на этот заряд, и наоборот. Если заряд q < 0, то напряженность поля направлена в противоположную сторону направления силы, с которой электрическое поле действует на этот заряд, и наоборот.

\(~E_x = \frac{F_x}{q}\) ,

где Е_x – проекция напряженность электрического поля в данной точке пространства на ось 0Х (Н/Кл или В/м), F_x – проекция силы, с которой электрическое поле действует на заряд q, на ось 0Х (Н), q – заряд (Кл).

• Аналогичное уравнение можно записать и в проекциях на ось 0Y.

Силы электростатического взаимодействия направлены вдоль линии, соединяющей взаимодействующие точечные заряды, причем одноименные заряды отталкиваются, а разноименные заряды притягиваются.

Направление вектора напряженности в данной точке пространства совпадает с направлением силы, с которой поле действует на пробный (положительный) заряд, помещенный в эту точку поля (рис. 1 а, б, где Q – заряд, создающий поле, q – пробный (положительный) заряд, помещенный в точку А, Е_A – напряженность поля, созданного зарядом Q, в точке А. Для наглядности, вектора смещены относительно друг друга).

Чем дальше от заряда Q, создающего поля, тем напряженность поля меньше.

• 

  а
• 

  б

Рис. 1

Можно определять направление напряженности точечных зарядов в некоторой точке А пространства и без пробных зарядов:

• если поле создано положительным зарядом q, то напряженность в точке С направлена из точки С от заряда q, вдоль линии, соединяющей заряд q и точку С,
• если поле создано отрицательным зарядом q, то напряженность в точке С направлена из точки C к заряду q, вдоль линии, соединяющей заряд q и точку С.

И наоборот:

• если напряженность в точке С направлена из точки С от заряда q, то поле создано положительным зарядом q,
• если напряженность в точке С направлена из точки С к заряду q, то поле создано отрицательным зарядом q.

Значение напряженности электрического поля, созданного точечным зарядом q, в данной точке пространства, находящейся на расстоянии r от заряда (рис. 2), равно

\(~E = k \cdot \frac{|q|}{r^2}\) ,

где k = 9·10⁹ Н·м²/Кл² – коэффициент пропорциональности.

Рис. 2

Напряженность электрического поля системы точечных зарядов q₁, q₂, …, q_N в некоторой точке пространства равна геометрической сумме напряженностей полей \(~\vec E_1 , \vec E_2 , \ldots , \vec E_N\) , создаваемых каждым из этих зарядов в отдельности в той же точке:

\(~\vec E = \vec E_1 + \vec E_2 + \ldots + \vec E_N\) .

Значение напряженности электрического поля, созданного сферой радиуса R, имеющей заряд q, в точке C пространства, находящейся на расстоянии l от центра сферы (рис. 3), равно

\(~E = k \cdot \frac{|q|}{l^2}\) , если l ≥ R , Е = 0, если l < R ,

где k = 9·10⁹ Н·м²/Кл² – коэффициент пропорциональности.

• Если l ≥ R, то напряженности электрического поля, созданного шаром радиуса R, так же будет равна \(~E = k \cdot \frac{|q|}{l^2}\) .

Рис. 3

\(~\sigma = \frac{q}{s}\) ,

где σ – поверхностная плотность электрического заряда, распределенного по поверхности тела площади S (Кл/м²), q – заряд тела (Кл), S – площадь (м²).

Значение напряженности электрического поля, созданного заряженной бесконечной пластиной с поверхностной плотностью заряда σ, равно

\(~E = \frac{\sigma}{2 \varepsilon_0}\) ,

где ε₀ ≈ 8,85·10^-12 Кл²/Н·м² – электрическая постоянная.

Силовые линии

Силовая линия – это направленная линия в пространстве, касательная к которой в каждой точке совпадает по направлению с вектором напряженности электрического поля в этой точке (рис. 4).

Силовые линии рисуют, учитывая следующие свойства:

• Силовые линии электростатического поля начинаются на положительных зарядах и заканчиваются на отрицательных.
• Силовые линии перпендикулярны поверхности.
• Силовые линии не пересекаются и не имеют изломов.
• О величине напряженности электрического поля можно судить по густоте силовых линий: там, где силовые линии гуще, напряженность больше, и наоборот.

Рис. 4

Однородное поле – это поле, вектор напряженности которого в каждой точке пространства одинаков (по модулю и направлению). Графически однородное поле представляет собой набор параллельных равноотстоящих друг от друга силовых линий.

Работа электрического поля

\(~A = q \cdot E \cdot \Delta x\) ,

где А – работа электростатического поля при перемещении заряда (Дж), q – заряд (Кл), Е – значение напряженности электрического поля (Н/Кл), Δx = x₂ – x₁ или Δx = Δr·cos α – проекция перемещения заряда на ось, направленную вдоль силовой линии (м), x₂ и x₁ – координаты заряда в конечном и начальном положении соответственно (м), Δr – перемещение заряда (м), α – угол между направлением перемещения и силовой линией (рис. 5).

Рис. 5

\(~W_p = -q \cdot E \cdot x\) ,

где W_p – потенциальная энергия заряда в однородном электростатическом поле (Дж), q – заряд (Кл), Е – значение напряженности электрического поля (Н/Кл), х – координата заряда на ось 0Х, направленную вдоль силовой линии (м).

\(~A = - \Delta W_p\) ,

где А – работа электростатического поля при перемещении заряда (Дж), ΔW_p = W_p2 – W_p1 – изменение потенциальной энергии заряда при его переме-щении в однородном электростатическом поле (Дж), W_p2 и W_p1 – потенциальные энергии заряда в его конечном и начальном положении соответственно (Дж).

\(~W_p = k \cdot \frac{q_1 \cdot q_2}{r}\) ,

где W_p – потенциальная энергия взаимодействия двух точечных зарядов (Дж), q₁ и q₂ – взаимодействующие заряды (Кл), r – расстояние между зарядами (м), k = 9·10⁹ Н·м²/Кл² – коэффициент пропорциональности.

Потенциальная энергия взаимодействия системы точечных зарядов q₁, q₂, q₃, …, q_N равна сумме потенциальных энергий всех пар взаимодействующих зарядов:

W_p = W_p12 + W_p13 + … + W_p1N + W_p23 + … + W_p(N-1)N ,

где W_p12, W_p13, …, W_p1N – энергия взаимодействия первого заряда со вторым, с третьим, …, с N-ым зарядом соответственно, W_p23 – энергия взаимодействия второго заряда с третьим и т.д.

Потенциал

\(~\varphi = \frac{W_p}{q}\) ,

где φ – потенциал электрического поля в данной точке (В), q – заряд, помещенный в данную точку поля (Кл), W_p – потенциальная энергия заряда в данной точке (Дж).

\(~\varphi_1 - \varphi_2 = \frac{A}{q}\) или \(~A = q \cdot (\varphi_1 - \varphi_2)\) ,

где φ₁ – φ₂ – разность потенциалов между двумя точками поля (В), А – работа электрического поля при перемещении заряда от первой точки ко второй (Дж), q – заряд (Кл).

Потенциал электростатического поля, созданного точечным зарядом q, в данной точке пространства, находящейся на расстоянии r от заряда, равен

\(~\varphi = \frac{k \cdot q}{r}\) ,

где k = 9·10⁹ Н·м²/Кл² – коэффициент пропорциональности.

• Знак потенциала совпадает со знаком заряда.

Потенциал электростатического поля, созданного сферой радиуса R, имеющей заряд q, в данной точке пространства, находящейся на расстоянии l от центра сферы, равен

\(~\varphi = \frac{k \cdot q}{l}\) , если l > R , \(~\varphi = \frac{k \cdot q}{R}\) , если l ≤ R ,

где k = 9·10⁹ Н·м²/Кл² – коэффициент пропорциональности.

• Если l ≥ R, то потенциал электростатического поля, созданного шаром радиуса R, так же будет равен \(~\varphi = \frac{k \cdot q}{l}\) .

Потенциал электрического поля φ в точке А, созданного N зарядами с потенциалами φ_A1, φ_A2, …, φ_AN ,в этой точке, равен алгебраической сумме этих потенциалов: φ_A = φ_A1 + φ_A2 + … + φ_AN .

\(~\varphi_1 - \varphi_2 = U_{12}\) ,

где φ₁ - φ₂ – разность потенциалов между двумя точками 1 и 2 поля (В), U₁₂ – напряжение между этими двумя точками поля (В).

• Данная формула верна, если на участке поля между двумя точками работа сторонних сил равна нулю. В разделе «Постоянный ток» будут рассмотрены примеры, когда работа сторонних сил не равна нулю.

\(~E = \frac{U_{12}}{\Delta x}\) или \(~U_{12} = E \cdot \Delta x\) ,

где Е – напряженность однородного электрического поля (Н/Кл или В/м), U₁₂ – напряжение между двумя точками 1 и 2 (В), Δx = Δr·cos α = x₂ – x₁ – проекция перемещения заряда \(~\Delta \vec r\) от точки 1 к точке 2 на ось 0X, направленную вдоль силовой линии (м), Δr – модуль перемещения заряда \(~\Delta \vec r\) (м), α – угол между перемещением заряда \(~\Delta \vec r\) и силовой линией, x₁ и x₂ – координаты точек 1 и 2 соответственно (м) (рис. 6).

Рис. 6

В задачах на применение данной формулы чаще всего заряд не рассматривается, и вместо перемещения заряда задано расстояние l между точками 1 и 2. Тогда считаем, что \(~\Delta \vec r = \vec l\) , где вектор-расстояние \(~\vec l\) между точками 1 и 2, направлен от точки 1 к точке 2, и Δx = l·cos α = x₂ – x₁ (рис. 7).

Рис. 7

Потенциал точки, находящейся в бесконечности от заряда, создающего поле, равен нулю.

Потенциальная энергия взаимодействия точечных зарядов равна нулю, если расстояние между зарядами бесконечно большое.

Работа А_вн, которую совершают для перемещения заряда, и работа А электростатического поля при перемещении этого заряда связаны следующим равенством А = –А_вн.

Электрон ускоряется в сторону увеличения потенциала, т.е. φ₁ – φ₂ < 0.

Под действием электрического поля второй сферы, заряд на поверхности первой сферы будет распределен неравномерно, но потенциал проводящей сферы (сопротивлением которой можно пренебречь) будет одинаковый во всех точках сферы и внутри нее. Это и позволяет находить потенциал поверхности через потенциал центра сферы, которая является единственной точкой, равноудаленной от поверхности.