Скачать + смотреть онлайн

видео 2022

бесплатно в хорошем качестве HD

Слободянюк А.И. Физика 10/1.6

Материал из PhysBook
Версия от 14:50, 4 октября 2009; WikiSysop (обсуждение | вклад)

(разн.) ← Предыдущая | Текущая версия (разн.) | Следующая → (разн.)
Перейти к: навигация, поиск

Содержание книги

Предыдующая страница

§1. Описание положения тела в пространстве

1.6 Число степеней свободы тела

Теперь, после того как мы изучили несколько моделей тел, можно окончательно и корректно сформулировать ответ на вопрос: «Что означает задать, определить положение тела?» - Указать численной значение координат некоторых точек тела так, чтобы положение всего тела (любой его части) было определено однозначно.

Число независимых координат, которые однозначно определяют положение тела или системы тел в пространстве называется числом степеней свободы.

Число степеней свободы очень важная характеристика описываемой системы, хотя бы потому, что определяет число независимых уравнений, описывающих движение системы.

Подсчитаем число степеней свободы некоторых простых систем.

Материальная точка, по определению, не имеет размеров, поэтому ее положение в пространстве определяется однозначно тремя координатами. Следовательно, число степеней свободы свободно материальной точки равно трем. Если на движение материальной точки накладываются дополнительные условия, то число ее степеней свободы может уменьшиться. Так если точка движется по заданной поверхности, то ее положение определяется двумя независимыми координатами, следовательно, число степеней свободы равно двум; при движении по заданной линии число степеней свободы уменьшается до одной. Подчеркнем, это не значит, что при движении по заданной линии может изменяться только одна и - могут изменяться все три, но положение точки на заданной линии определяется одной координатой, и если она известна, то могут быть определены и две других. Тем не менее, описание положения точки на заданной линии с помощью одной координаты оказывается не всегда удобным. Ценность рассмотренных нами декартовых координат в том, что они позволяют установить физические законы, описывающее движение вдоль всех прямых (все прямые одинаковы!). В то же время, для описания изменения координат на произвольной линии пришлось бы записывать свои законы для каждой линии - окружности, параболы, синусоиды и т.д. Поэтому часто одномерное движение вдоль известной линии описывают с помощью двух или трех координат. Однако и в этом случае число степеней свободы остается равным единице.

Если механическая система может быть промоделирована как N материальных точек, движущихся в пространстве, то, очевидно, полное число ее степеней свободы равняется 3N. Но если на движение этих материальных точек накладываются дополнительные ограничения, то число степеней свободы уменьшается.

Рассмотрим, как можно описать положение в пространстве двух материальных точек жестко связанных между собой (что-то похожее на гантели). Две точки имеют шесть степеней свободы, которые могут быть описаны шестью координатами - x1, y1, z1, x2, y2, z2, но так как расстояние между точками неизменно, то на эти координаты накладывается условие

\(~(x_1 - x_2)^2 + (y_1 - y_2)^2 + (z_1 - z_2)^2 = l^2\) ,

где l - расстояние между точками, поэтому число независимых координат, или число степеней свободы равно пяти.

Таким образом, число степеней свободы системы, состоящей из N материальных точек равно 3N минус число дополнительных условий (связей), накладываемых на движение этих точек.

Число степеней свободы может быть подсчитано и другим способом. Обратим внимание, что точное определение координат уменьшает «подвижность» точки (или системы точек). Так, например, если для материальной точки задана координата z, то точка может двигаться только в плоскости перпендикулярной оси Z, задание еще одно координаты (скажем y), приводит к тому, что точка может двигаться только вдоль прямой параллельной оси X. Поэтому число степеней свободы можно находить, подсчитывая, сколько независимых координат необходимо определить, чтобы жестко «закрепить» тело. С помощью такого подхода найдем число степеней свободы системы, состоящей из двух жестко связанных точек. Задавая три координаты одной точки, мы ее как бы закрепляем, тогда вторая точка сможет двигаться так, что бы ее расстояние до первой оставалось неизменным, то есть по поверхности сферы радиуса l. Понятно, что если определено положение двух точек твердого тонкого стержня, то задано и положение всего стержня, поэтому тонкий стержень имеет пять степеней свободы.

Посчитаем число степеней свободы свободно движущегося абсолютно твердого тела. Выберем внутри тела три произвольных точки A, B, C, не лежащих на одной прямой. (рис 5). Положение одной точки A, определяется тремя координатами, если задано положение точки A, то положение точки B может быть описано двумя координатами. Наконец, при «закрепленных» точках A и B, тело может только вращаться вокруг оси, проходящей через эти точки. Следовательно, точка C имеет одну степень свободы. Таким образом, абсолютно твердое тело имеет шесть степеней свободы.

Как мы уже отмечали, для описания положения точки можно использовать разные системы координат, аналогично, положение твердого тела также может быть описано различными способами, только число независимых координат во всех способах описания будет одним и тем же равным числу степеней свободы. Так во многих случаях, положение твердого тела, описывают, задавая три декартовые координаты одной из его точек (чаще центра), и три угла, определяющие его ориентацию.


Следующая страница

Смотреть HD

видео онлайн

бесплатно 2022 года

Персональные инструменты
Пространства имён

Варианты
Действия
Учебники
Журнал "Квант"
Разделы физики
Общие
Инструменты