Слободянюк А.И. Физика 10/10.7

Содержание книги

Предыдующая страница

§10. Проводники и диэлектрики в электростатическом поле

10.7 Метод изображений для диэлектриков.

Идеи метода изображений, развитые для описания поля в присутствии проводников, могут быть распространены и для описания поля в присутствии диэлектриков. Существенным отличием этих методов в случае диэлектриков является изменение (существенное усложнение) граничных условий. Если поверхность металла является эквипотенциальной, то на поверхности диэлектрика должны выполняться граничные условия для нормальных и тангенциальных составляющих векторов напряженности полей (7)-(8) (10.6. Описание электрического поля в диэлектриках). Поэтому чаще всего приходится «угадывать» вид распределения поверхностной плотности поляризационных зарядов, что удается сделать только в редких случаях.

Рассмотрим для примера электрическое поле создаваемое точечным зарядом q, который находится на расстоянии h от бесконечной плоской границы с бесконечным диэлектриком с проницаемостью ε.

Предположим, что на плоской границе диэлектрика, взаимодействующего с точечным зарядом q, возникают поляризационные заряды, распределение σ’ которых совпадает с распределением зарядов на поверхности проводника, находящегося в аналогичных условиях. Такое распределение поверхностных зарядов, создает в полупространстве поле, эквивалентное полю точечного заряда. Таким образом, будем рассматривать поле в верхнем полупространстве над диэлектриком как суперпозицию зарядов q и q’, расположенных симметрично по разные стороны от границы, а поле внутри диэлектрика как поле двух точечных зарядов q и q’, расположенных в одной точке (рис. 267).

Для того, чтобы доказать справедливость нашего предположения необходимо добиться выполнения граничных условий

\(~E_{0n} = \varepsilon E_n ; E_{0\tau} = E_{\tau}\) .

Легко видеть, что условие постоянства тангенциальной составляющей выполняется при любом значении заряда-изображения q’. Попытаемся подобрать такую величину этого заряда, что бы выполнялось граничное условие и для нормальных составляющих поля. Согласно нашему предположению, в пространстве над диэлектриком возле границы нормальная составляющая поля определяется формулой

\(~E_{0n} = \frac{q - q'}{4 \pi \varepsilon_0 R^2} \cos \theta\) ,

а внутри диэлектрика, непосредственно у границы

\(~E_n = \frac{q + q'}{4 \pi \varepsilon_0 R^2} \cos \theta\) .

Граничное условие для нормальных составляющих поля \(~E_{0n} = \varepsilon E_n\) будет выполняться в любой точке границы, если положить \(~q - q' = \varepsilon (q + q')\), или

\(~q' = -q \frac{\varepsilon - 1}{\varepsilon + 1}\) . (1)

Итак, мы показали, что предположение о характере распределения поляризационных зарядов на границе диэлектрика справедливо, так как выполняются оба граничные условия.

Таким образом, для расчета полей приходится строить заряд-изображение, расположенный внутри диэлектрика , если рассчитывается поле вне его; и наоборот снаружи от диэлектрика, если рассматривается поле внутри его.

Отметим, что поле внутри диэлектрика в данном случае совпадает с полем точечного заряда, величина которого равна \(~q + q' = \frac{2}{\varepsilon + 1} q\) , соответственно, напряженность поля внутри диэлектрика равна \(~\vec E = \vec E_0 + \vec E' = \frac{2}{\varepsilon + 1} \vec E_0\) . То есть диэлектрик уменьшает поле, но не в ε раз, как это бывает в случае бесконечного диэлектрика, или когда силовые линия поля перпендикулярны границе. Поле вне диэлектрика отличается от поля точечного заряда.

Аналогично может быть решена задача о расчете поля, создаваемого диэлектрическим шаром, помещенным во внешнее однородное электрическое поле. Оказывается, что и в этом случае вид распределения поляризационных зарядов на поверхности шара совпадает с видом распределения индуцированных зарядов на поверхности проводящего шара. Использование этого обстоятельства позволяет найти напряженности полей как внутри шара, так и вне его. Суммарное поле внутри шарика будет оставаться однородным и направленным так же, как и внешнее поле, однако его величина будет меньше

\(~\vec E = \vec E_0 + \vec E' = \frac{3}{\varepsilon + 2} \vec E_0\) . (2)

Поле вне шара перестанет быть однородным.

Обратите внимание, что множитель, показывающий во сколько раз изменилась напряженность поля, отличается от аналогичного множителя для случая плоской границы - форма границы оказывает существенное влияния на поле внутри и снаружи от диэлектрика.

Заметим, что переход от диэлектрика к проводнику в задачах электростатики может быть осуществлен, полагая \(~\varepsilon \to \infty\) , действительно, в этом пределе формулы определяющие заряды-изображения и напряженности полей в диэлектрике, переходят в соответствующие формулы, полученные ранее для проводника .

Если же положить ε = 1, то все индуцированные заряды исчезают, как и должно быть в отсутствие диэлектрика.

Задание для самостоятельной работы.

1. Докажите формулу (2).

Примечания

Следующая страница