Слободянюк А.И. Физика 10/19.3

Содержание книги

Предыдующая страница

§19. Волновые процессы

19.3 Распространение, отражение и преломление волн.

Механическая волна (упругая, поверхностная) в основе есть механическое движение частиц среды, в которой эта волна распространяется. Движение частиц среды описывается знакомыми нам законами динамики Ньютона и законами взаимодействия частиц.

Звуковая волна – области сжатия и разряжения газа, распространяющиеся в пространстве, поэтому описывается газовыми законами, с которыми мы познакомимся позднее.

Электромагнитная волна – изменяющееся в пространстве электромагнитное поле, полностью описываемое уравнениями Максвелла.

Таким образом, никаких новых фундаментальных законов для описания волновых явлений не требуется. Фактически описание волновых процессов представляет собой математическую проблему, связанную с решением волновых уравнений. Чрезвычайно странно и удивительно, что столь различные физические явления описываются одинаковыми математическими уравнениями, но так устроен тот мир, в котором мы живем (или мы его так понимаем). Возможно, это связано с наличием некоторых универсальных свойств у различных объектов и систем – состояний устойчивого равновесия, инерционности, взаимодействий между «соседями» и т.д.

В очередной раз мы сталкиваемся с характерным взаимодействием физики и математики: на основании физических законов формулируются математические уравнения, анализ которых явно не связан с физической природой изучаемого явления, а полученные решения требуют физической интерпретации. Вот и сейчас мы занимаемся математической проблемой – решением волновых уравнений. К сожалению, эти уравнения слишком сложны, для того, чтобы в каждом конкретном случае сразу выписывать конечные формулы, строить графики и давать им простые пояснения. Поэтому описание волновых явлений мы будем проводить на основании некоторых частных принципов, и по мере углубления наших знаний возвращаться к этим принципам, уточнять их, давать им обоснование с точки зрения более общих принципов, которые будут обосновываться другими принципами и законами и т.д. Иными словами, мы пойдем тем же драматическим путем, которым шло развитие науки в течение многих веков (если начитать отсчет с Древней Греции), и в котором активно участвовали ученые многих стран.

Ранее мы показали, что волны удобно изучать и изображать с помощью волновых поверхностей и перпендикулярных к ним волновых лучей. Сейчас, мы познакомимся с правилами построения этих геометрических объектов, описывающих волны.

Исторически одним из первых подходов, позволяющих решать часть из этих проблем, был принцип, сформулированных голландским ученым Христианом Гюйгенсом, современником И.Ньютона.

Принцип Гюйгенса формулируется следующим образом: «Каждая точка среды, до которой дошло возмущение, является источником вторичных волн, огибающая фронтов вторичных волн является фронтом результирующей волны».

Основная идея этого подхода достаточно очевидна с точки зрения здравого смысла: любая колеблющаяся частица среды является источником волны, не зависимо оттого, что заставляет эту точку двигаться или внешняя сила, или взаимодействие с ее соседями. Если эта колеблющаяся частица находится в однородной среде, то испускаемая ею волна является сферической (или круговой для поверхностных волн). Поэтому распространяющуюся волну можно рассматривать как сумму волн, испущенных всеми колеблющимися частицами среды, эти волны были названы вторичными. Однако корректно рассчитать сумму всех этих сферических волн очень сложно, поэтому Х. Гюйгенс существенно упростил эту задачу, предположив, что достаточно принимать во внимание, только волны испущенные частицами, находящимися на фронте волны. Фронтом волны называется граница возмущенной области среды, то есть той области, до которой дошла волна к данному моменту времени. Наконец, вместо суммирования этих волн Х. Гюйгенс предложил геометрическое построение – фронт результирующей волны является огибающей фронтов вторичных волн. Идея построения огибающей также логична – ведь огибающая является граничной линией для всех фронтов вторичных волн, то есть ограничивает область, возмущенную волнами. Понятно, что фронты вторичных волн и их огибающую следует строить для одного и того же момента времени.

Таким образом, принцип Гюйгенса логично вытекает из качественных рассуждений, но, все-таки, основным его обоснованием служат следствия, которые могут быть получены с его помощью, которые подтверждаются наблюдениями и экспериментами по изучению волн. Подчеркнем, что этот принцип позволяет геометрически строить фронты, волновые поверхности, лучи, однако, он де дает возможности рассчитывать количественные характеристики волн – амплитуды колебаний точек среды, переносимую энергию и другие.

Отметим, еще одно обстоятельство: если ранее мы рассматривали установившийся режим колебаний среды (когда выписывали функции бесконечных гармонических волн), то при использовании принципа Гюйгенса мы рассматриваем процесс распространения границы области распространения волны – хотя, как это будет видно в дальнейшем, принципиальной разницы это не представляет.

Используя принцип Гюйгенса, рассмотрим описание распространения волн в однородной среде. Пусть в некоторый момент времени t = t₀ фронт волны от точечного источника представляет собой сферу радиуса R₀ (Рис. 303). Для того чтобы построить фронт волны в момент времени \(t_1 = t_0 + \tau\) рассматриваем все точки этого «исходного» фронта, как источники вторичных волн. Фронты эти волн являются сферами с радиусами \(r = c \tau\) (где с - скорость распространения волны). Очевидно, что огибающей поверхностью этих волн является сфера большего радиуса \(R = R_0 + c \tau\). Таким образом, сферический волновой фронт порождает новый сферический фронт, поэтому (по индукции) в любой момент времени фронтом волны является сфера. Направление распространения волны в каждой точке перпендикулярно волновому фронту, поэтому волновые лучи в данном случае представляют собой прямые линии, радиально расходящиеся от источника. В этом смысле волна распространяется прямолинейно.

Аналогично можно рассмотреть распространение плоской волны. Если исходный фронт является плоскостью, то огибающая поверхность всех сфер одинакового радиуса с центрами на этой плоскости также является плоскостью (Рис. 304). То есть плоский волновой фронт порождает параллельный ему новый плоский волновой фронт. Волновые лучи в этом случае – параллельные прямые, перпендикулярные волновым фронтам. В рассматриваемом случае прямолинейность распространения очевидна и не требует пояснений.

Кому-то, данный пример может показаться излишним, ведь плоскость можно рассматривать как сферу бесконечно большого радиуса – это действительно так.

Рассмотренные примеры при внимательном рассмотрении демонстрируют еще одно слабое место принципа Гюйгенса. Если мы построим полностью фронты вторичных волн (Рис. 305), то увидим, что огибающие этих волн образуются с двух сторон – одна в направлении распространения волны (прямая волна), вторая с противоположной стороны (обратная волна). Особенно интересна обратная волна от сферического фронта, так она должна быть сходящейся. Обратных волн в реальности нет! Поэтому принцип Гюйгенса необходимо дополнить еще одним уточнением: рассматриваются только те части вторичных волн, направление распространения которых совпадает с направлением распространения исходной волны.

Почему? Объяснить не можем, поэтому это постулат!

Применим теперь принцип Гюйгенса к описанию отражения и преломления волн.

Пусть плоская волна падает на плоскую границу двух сред (Рис. 306). Скорости распространения волн в этих средах различны, обозначим их c₁ и c₂. Волновые лучи падающей волны обозначены A₁A и B₁B, волновые поверхности этой волны перпендикулярны этим лучам, одна из них построена на рисунке и обозначена AC. Рассмотрим эту волновую поверхность как исходный фронт волны. В соответствии с принципом Гюйгенса построим фронты вторичных волн, испущенные точками, находящимися на границе раздела сред AB.

Строго говоря, при этом мы отступаем от формулировки принципа Гюйгенса – эта граница не является фронтом волны ни в один из моментов времени – так как падающая волна достигает точек границы в разные моменты времени. Поэтому мы должны рассматривать вторичные волны, исходящие из точек волнового фронта, в качестве которого мы выбрали плоскость AC. Но чтобы не загромождать и так загроможденный рисунок, мы строим сферические волны, исходящие от точек границы, при этом радиусы этих вторичных волн различны. Действительно, ведь мы должны получить фронты этих волн в один момент времени. Построим эти фронты в тот момент времени, когда вторичная волна, испущенная точкой фронта С, достигла границы раздела сред в точке B. Причем, нам необходимо построить волны, как в одной среде, так и в другой. При этом огибающая волн в первой среде даст фронт отраженной волны, а огибающая волн во второй среде – фронт преломленной волны. Очевидно, что радиусы вторичных волн пропорциональны расстоянию от центров этих волн до точки B, поэтому их огибающие будут плоскими. Описанное построение показано на рисунке.

Для построения огибающих достаточно рассмотреть одну из вторичных волн, потому, что эти огибающие будут касательными плоскостями для всех вторичных волн.

На рис. 307 построены фронты волн, испущенных точкой A , в момент времени, когда фронт падающей волны достиг границы раздела в точке B . Радиус волны в первой среде равен \(|AD| = c_1 t\), где \(~t = \frac{|CB|}{c_1}\) - время распространения волны от точки С до точки B, то есть радиус этой волны равен расстоянию CB. Проведя из точки B касательную к фронту вторичной волны BD, получим фронт отраженной волны. Нормали к этому фронту ADA₂ и BB₂ являются лучами отраженной волны. Из проведенного построения легко доказать (сделайте это самостоятельно) закон отражения волн. Назовем углом падения угол между волновым лучом и нормалью к отражающей поверхности, проведенной в точке падения данного луча α = ∠ A₁AN₁, а углом отражения – угол между нормалью и волновым лучом отраженной волны ∠ N₁AA₂. Тогда закон отражения волн звучит так: «Луч падающий, луч отраженный и нормаль к отражающей поверхности, построенная в точке падения, лежат в одной плоскости; угол падения равен углу отражения».

Указание о том, лучи и нормаль лежат в одной плоскости является обязательным, так легко привести пример, когда угол падения равен углу отражения, но при этом закон отражения не выполняется. Так на рис. 308 показаны два луча, падающий и отраженный, образующие равные углы α с осью Oz, перпендикулярной плоскости отражения xOy, но первый из них лежит в плоскости zOx, а второй в плоскости zOy.

Найдем теперь направление распространения преломленной волны. Для этого построим фронт вторичной волны, испущенной точкой A, в момент времени, когда фронт падающей волны достиг точки B. Радиус этой волны равен \(|AE| = c_2 t\), где, по-прежнему, \(~t = \frac{|CB|}{c_1}\) - время распространения волны от точки С до точки B. Проведя касательную из точки B фронту этой волны BE, получим огибающую всех вторичных волн, распространяющихся во второй среде, то есть фронт преломленной волны. Прямые, перпендикулярные этому фронту AA₃ и BB₃ являются лучами преломленной волны. По определению, углом преломления называется угол β = ∠ A₃AN₂ между лучом преломленной волны и нормалью к поверхности раздела сред. Из проведенного построения следует, что β = ∠ A₃AN₂ = ∠ ABE, как углы с взаимно перпендикулярными сторонами. Из прямоугольного треугольника ABE, следует, что синус этого угла равен

\(~\sin \beta = \frac{|AE|}{|AB|} = \frac{c_2 t}{|AB|}\) . (1)

Аналогично из прямоугольного треугольника ACB, следует, что синус угла падения равен

\(~\sin \alpha = \frac{|CB|}{|AB|} = \frac{c_1 t}{|AB|}\) . (2)

Разделим равенство (1) на равенство (2), в результате получим соотношение между углами падения и преломления волн

\(~\frac{\sin \beta}{\sin \alpha} = \frac{c_2}{c_1}\) . (3)

Добавляя очевидное утверждение об одной плоскости, получаем закон преломления волн: «Луч преломленный, луч падающий и нормаль к границе раздела сред, построенная в точке падения лежат в одной плоскости; отношения синуса угла преломления к синусу угла падения равно отношению скоростей распространения волн».

Заметим, что если скорости волн по разные стороны от границы раздела одинаковы, то преломленная волна распространяется в том же направлении, что и падающая волна, иными словами никакого преломления наблюдаться не будет. Итак, единственной характеристикой среды, существенной для описания распространения волн является скорость волны в данной среде. То есть среды могут быть различными (например, одна красной, другая зеленой), но если скорости распространения данного типа волн в них одинаковы, то для этой волны среды неразличимы.

Преломление является универсальным явлением для всех волн. Хорошо известным примером преломления волн является преломление света, об этом явлении мы будем говорить подробно позднее.

Достаточно легко наблюдать отражение и преломление волн на поверхности воды. Для этого необходимо взять плоский сосуд (кювету), налить в него воду и возбудить на ее поверхности волну с помощью колеблющегося тела, касающегося поверхности волны. Если это колеблющееся тело мало, то образуемая им волна будет круговой. Если же в качестве источника взять горизонтальный стержень, то можно получить волну, которая достаточно близка к плоской. Так как скорость поверхностных волн убывает при уменьшении глубины, то помещенное на дно кюветы плоское тело уменьшает скорость распространения волны. Тем самым не представляет проблемы создать плоскую границу раздела сред с различными скоростями распространения. При прохождении волны через такую границу легко наблюдать как отраженную, так и преломленную волны.

Полученный закон преломления волн (3) объясняет хорошо известное наблюдение: волны на поверхности воды набегают на берег практически перпендикулярно ему. Это происходит потому, что поэтому по мере приближения к берегу синус угла и сам угол между направлением распространения волны и перпендикуляром к берегу уменьшаются (так как уменьшается скорость распространения волн), что и приводит к тому, что волна своими гребнями разворачивается параллельно берегу.

Полученные законы для направления распространения, отражения и преломления волн наиболее просто формулируются для волновых лучей, поэтому во многих задачах, эти проблемы распространения волн удобно описывать именно с помощью волновых лучей, как это, например, делается в рамках геометрической оптики.

В заключение еще раз обсудим ценность принципа Гюйгенса. С одной стороны этот принцип позволил получить три закона: прямолинейного распространения, отражения и преломления волн. С другой стороны сам принцип не избавлен от определенных противоречий. Так еще раз рассмотрим прохождение волны через границу двух сред. Мы показали, что в этом случае возникают отраженная и преломленная волны. Что будет в том случае, когда скорости волн в различных средах совпадают? Мы отмечали, что в этом случае преломленная волна фактически совпадает с падающей, поэтому различить их не возможно. Но будет ли в этом случае отраженная волна? Проведенное построение фронта отраженной волны никак не связано с различием в скоростях распространения волн, поэтому справедливо и для случая «границы» сред с одинаковыми скоростями распространения волн. А если среда является однородной, то такую «границу раздела» можно провести произвольно – поэтому и отраженная от произвольной «границы» волна, также может быть произвольной.

Чтобы избежать подобного парадокса, приходится дополнять принцип Гюйгенса очередным недоказуемым постулатом: отражение волны происходит на только границе сред с разными скоростями распространения. Конечно, развитие волновой физики не остановилось на принципе Гюйгенса, сформулированного в XVII веке. Примерно через сто лет (уже во времена Наполеона и А.Вольта) французский физик О.Френель сумел получить формулы, позволяющие рассчитать амплитуды отраженной и преломленной волн. Эти формулы снимают отмеченное противоречие: амплитуда отраженной волны зависит от разности скоростей распространения волн и при их равенстве амплитуда отраженной волны равна нулю. Поэтому поклонники принципа Гюйгенса могут быть удовлетворены: да волна отражается от любой «мнимой границы», но ее амплитуда равна нулю!

Примечания

Следующая страница