Скачать + смотреть онлайн

видео 2022

бесплатно в хорошем качестве HD

Строго запрещено смотреть анал видео. Крутые - все самые шикарные мамки видео. Мега лучший пердос video.

PhysBook
PhysBook
Представиться системе

Слободянюк А.И. Физика 10/19.7

Материал из PhysBook


Содержание книги

Предыдующая страница

§19. Волновые процессы

19.7 Энергия волны, перенос энергии.

Любая волна является движением некоторой среды[1]. Поэтому среда, возмущенная проходящими волнами, обладает дополнительной энергией, которую мы будем называть энергий волны. Подчеркнем, что на самом деле речь идет об энергии движущихся и взаимодействующих между собой частиц среды, подобно тому, как следует строго говорить о кинетической энергии движущегося тела (а не энергии движения); о потенциальной энергии взаимодействующих тел (а не энергии взаимодействия).

Волновое движение своеобразно: все частицы среды колеблются около своих положений равновесия, в среднем не перемещаясь, а волна распространяется на произвольно большие расстояния, вместе с ней передается энергия. Возможность передачи энергии волной представляет большой интерес.

Мы рассмотрим перенос энергии в упругой волне, распространяющейся по упругой цепочке, которая уже неоднократно использовалась нами в качестве простой модели среды, в которой могут распространяться волны. Как и ранее, многие результаты, полученные в рамках этой модели, оказываются «универсальными», применимыми для всех типов волнового движения.

19.7.1 Кинематика упругой волны – длинноволновое приближение.

Итак, пусть по бесконечной цепочки, состоящей из небольших шариков, массы m, соединенных невесомыми пружинками жесткости γ длиной l, распространяется продольная упругая волна. Закон движения шарика (его смещение от положения равновесия) номер n описывается функцией

\(~u_n(t) = A \cos (\omega t - n \Delta \varphi)\) . (1)

При этом его скорость и ускорение изменяются со временем по законам

\(~\upsilon_n(t) = -A \omega \sin (\omega t - n \Delta \varphi)\) , (2)
\(~a_n(t) = -A \omega^2 \cos (\omega t - n \Delta \varphi)\) . (3)

Вместо набора функций un(t), описывающих движение каждого шарика, можно использовать функцию двух переменных: времени и координаты шарика

\(~u(x,t) = A \cos \left(\omega t - \frac{\Delta \varphi}{l} x \right)\) , (4)

которая появляется при переходе от описания движения дискретной цепочки шариков к колебаниям непрерывной струны. В этом случае номер шарика может быть выражен через его координату \(~n \to \frac{x}{l}\). При такой записи явно видно, что величина \(~\frac{\Delta \varphi}{l} = k\) представляет собой волновое число, поэтому скорость распространения волны равна

\(~c = \frac{\omega}{k} = \frac{\omega l}{\Delta \varphi}\) . (5)

При изучении такой волны мы показали, что разность фаз между колебаниями двух соседних шариков подчиняется соотношению

\(~\cos \Delta \varphi = 1 - \frac{\omega^2}{\omega^2_0}\) , (6)

где \(~\omega_0 = \sqrt{\frac{2 \gamma}{m}}\) - собственная частота колебаний отдельного шарика.

Для упрощения математических выкладок, мы будем описывать свойства волны в «длинноволновом приближении[2]», когда частота волны значительно меньше собственной частотой колебаний отдельного шарика \(~\omega << \omega_0 = \sqrt{\frac{2 \gamma}{m}}\), а длина волны значительно превышает расстояния между центрами шариков. В этом практически важном приближении сдвиг фаз между колебаниями соседних шариков является малой величиной Δφ << 1, поэтому для косинуса этой величины применима приближенная формула

\(~\cos \Delta \varphi \approx 1 - \frac{1}{2} (\Delta \varphi)^2\) .

Подставляя это выражение в формулу (6), получим уравнение

\(~\cos \Delta \varphi \approx 1 - \frac{1}{2} (\Delta \varphi)^2 = 1 - \frac{\omega^2}{\omega^2_0}\) , (7)

из которого получаем простое выражение для сдвига фаз:

\(~\Delta \varphi \approx \sqrt{2} \frac{\omega}{\omega_0} = \omega \sqrt{\frac{m}{\gamma}}\) . (8)

Скорость распространения волны в этом случае оказывается равной

\(~c = \frac{\omega}{k} = l \sqrt{\frac{\gamma}{m}}\) (9)

и не зависящей от частоты волны. Запишем также несколько равносильных выражений для сдвига фаз между колебаниями соседних шариков

\(~\Delta \varphi = \frac{\omega l}{c} = 2 \pi \frac{l}{Tc} = 2 \pi \frac{l}{\lambda}\) . (10)

Эти выражения в явном виде выражают сдвиг фаз через отношения: времени распространения волны между соседними шариками \(~\tau = \frac{l}{c}\) к периоду колебаний \(~T = \frac{2 \pi}{\omega}\) волны; расстояния между шариками к длине волны λ = cT. Эти отношения являются малыми величинами одного порядка. В дальнейших выкладках можно использовать приближенные формулы, оставляя в них только те члены, которые имеет первый порядок малости по этим отношениям. Так, например, тригонометрические функции с указанной точностью приближенно выражаются как cos Δφ ≈ 1, sin Δφ ≈ Δφ.

Формулы (10) становятся очевидными и банальными, если вспомнить, что за время периода колебаний их фаза изменяется на 2π, а разность фаз колебаний точек, расположенных на расстоянии длины волны, также равна 2π.

Выразим теперь закон движения (n + 1)-го шарика через характеристики колебаний его предыдущего n-го соседа, для чего используем тригонометрическую формулу для косинуса суммы:

\(~\begin{matrix} u_{n+1}(t) = A \cos (\omega t - (n+1) \Delta \varphi) = A \cos ((\omega t - n \Delta \varphi) - \Delta \varphi) = \\ = A \cos (\omega t - n \Delta \varphi) \cos \Delta \varphi + A \sin (\omega t - n \Delta \varphi) \sin \Delta \varphi \approx \\ \approx A \cos (\omega t - n \Delta \varphi) - \frac{\Delta \varphi}{\omega} (-A \omega \sin (\omega t - n \Delta \varphi)) = u_n(t) - \frac{l}{c} \upsilon_n(t) \end{matrix}\) . (11)

Полученная формула очень интересна: отношение \(~\tau = \frac{l}{c}\) равно времени распространения волны от одного шарика до следующего за ним. Выражение (11) показывает, что смещение (n + 1)-го шарика в данный момент времени t равно смещению предыдущего в предшествующий момент времени \(~t - \frac{l}{c}\).

Сравним два выражения

\(~\begin{matrix} u_{n+1}(t) = u_n(t) - \upsilon_n(t) \tau \\ u_n(t + \tau) = u_n(t) + \upsilon_n(t) \tau \end{matrix}\) ,

которые явно демонстрируют общее свойство распространяющихся волн: сдвиг в пространстве на величину l равносилен сдвигу во времени на величину \(~\tau = -\frac{l}{c}\). Это свойство справедливо для всех распространяющихся волн. Любая волна описывается функцией U(x,t)= F(xct), поэтому для нее справедливо

\(~U(x + l,t) = F(x + l - ct) = F \left(x - c \left( t - \frac{l}{c} \right) \right) = U \left(x, t - \frac{l}{c} \right)\) .

Соотношение, аналогичное (11), можно получить и для скоростей соседних шариков

\(~\begin{matrix} \upsilon_{n+1}(t) = -A \omega \sin (\omega t - (n+1) \Delta \varphi) = -A \omega \sin ((\omega t - n \Delta \varphi) - \Delta \varphi) = \\ = -A \omega \sin (\omega t - n \Delta \varphi) \cos \Delta \varphi - A \omega \cos (\omega t - n \Delta \varphi) \sin \Delta \varphi \approx \\ \approx -A \omega \sin (\omega t - n \Delta \varphi) + \frac{\Delta \varphi}{\omega} A \omega^2 \sin (\omega t - n \Delta \varphi) = \upsilon_n(t) - \frac{l}{c} a_n(t) \end{matrix}\) . (11)

19.7.2 Средняя плотность энергии волны.

Img Slob-10-19-355.jpg

Теперь с помощью полученных кинематических законов рассмотрим энергетические характеристики волны, распространяющейся по цепочке. Мысленно разобьем цепочку на одинаковые элементарные ячейки, включающие шарик и следующую за ним пружину (Рис. 355).

Кинетическая энергия одной ячейки совпадает с кинетической энергией движущегося шарика, ее зависимость от времени выражается формулой

\(~W_{kin, n} = \frac{m \upsilon^2_n}{2} = \frac{m A^2 \omega^2}{2} \sin^2 (\omega t - n \Delta \varphi)\) . (13)

Во многих случаях основной интерес представляет среднее значение кинетической энергии, которое легко определить из выражения (13)

\(~<W_{kin, n}> = <\frac{m A^2 \omega^2}{2} \sin^2 (\omega t - n \Delta \varphi)> = \frac{m A^2 \omega^2}{4}\) , (14)

где учтено, что среднее значение квадрата синуса равно \(~\frac{1}{2}\). Причем, особо отметим, что в данном случае усреднение можно понимать двояко: как усреднение по промежутку времени, значительно превышающему период колебаний; либо как усреднение по участку цепочки, длина которого значительно превышает длину распространяющейся волны. В первом случае мы, как бы, следим за движением одного шарика в течение некоторого промежутка времени; во втором – рассчитываем среднюю энергию большого числа шариков в заданный момент времени. В случае гармонической волны такие усреднения временное и пространственное приводят к одному результату.

При переходе к непрерывному пределу от цепочки к непрерывной струне удобной характеристикой является средняя плотность энергии – энергия, приходящаяся на единицу длины струны[3]. Для расчета этой характеристики следует среднюю энергию одной ячейки (14) разделить на ее длину

\(~<w_{kin, n}> = \frac{<W_{kin, n}>}{l} = \frac{\rho A^2 \omega^2}{4}\) , (15)

где обозначено \(~\rho = \frac{m}{l}\) - средняя плотность цепочки, масса единицы длины.

Проведем расчет потенциальной энергии выделенной ячейки, то есть энергию пружинки, которая пропорциональна квадрату ее деформации

\(~U_n = \frac{\gamma (u_{n+1} - u_n)^2}{2}\) . (16)

Из этой формулы следует, что потенциальная энергия ячейки зависит от разности смещений двух соседних шариков. Эту разность удобно выразить с помощью формулы (11)

\(~U_n = \frac{\gamma}{2} \left( -\frac{l}{c} \upsilon_n \right)^2 = \frac{\gamma l^2}{2 c^2} \upsilon^2_n = \frac{m \upsilon^2_n}{2} = W_{kin}\) . (17)

Полученный результат является неожиданным: в любой момент времени потенциальная энергия ячейки равна ее кинетической энергии. Этот же вывод справедлив и для средней плотности потенциальной энергии

\(~<w_{pot, n}> = \frac{<U_n>}{l} = \frac{\gamma l^2}{2 c^2} <\upsilon^2_n> = \frac{\gamma l}{4} \frac{A^2 \omega^2}{c^2} = \frac{\rho A^2 \omega^2}{4}\) . (18)

Вспомните: при колебаниях маятника (как пружинного, так и математического) потенциальная энергия максимальна, когда кинетическая равна нулю, и наоборот - колебания этих двух видов энергии происходят в противофазе. В упругой волне эти колебания синфазны. Это принципиально различное поведение качественно может быть объяснено следующим образом: для пружинного маятника потенциальная энергия определяется его собственным смещением от положения равновесия, а для упругой волны эта энергия зависит от разности смещений двух соседей. Можно также указать, что для непрерывной среды ее кинетическая энергия пропорциональна производной от смещения по координате \(~\upsilon = \frac{\partial u}{\partial t}\), а ее относительная деформация равна производной по координате \(~\varepsilon = \frac{\partial u}{\partial x}\). В случае незатухающей волны эти производные изменяются со временем по одному закону, следовательно, одинаково изменяются кинетическая и потенциальная энергии.

Суммарная средняя плотность энергии упругой волны определяется по формуле

\(~<w> = <w_{kin, n}> + <w_{pot, n}> = \frac{\rho A^2 \omega^2}{2}\) , (19)

она пропорциональна квадрату амплитуды волны и квадрату ее частоты.

Приведем еще одно выражение для плотности потенциальной энергии. Выразим потенциальную энергию пружинки через ее относительную деформацию \(~\varepsilon_n = \frac{u_(n+1) - u_n}{l}\):

\(~U_n = \frac{\gamma (u_{n+1} - u_n)^2}{2} = \frac{\gamma l^2 \varepsilon^2_n}{2}\) .

Теперь средняя потенциальная энергия оказывается равной

\(~w_{pot, n} = \frac{U_n}{l} = \frac{\gamma l^2 \varepsilon^2_n}{2} = \frac{E \varepsilon^2}{2}\) ,

где E = γl - введенный ранее модуль Юнга среды. Сравните полученное выражение с формулами для средних плотностей энергии электрического и магнитного полей!

19.7.3 Поток энергии в упругой волне.

При распространении волны по цепочке происходит постоянная передача энергии от одной ячейки к другой. Для описания этого переноса удобно ввести специальную характеристику S – поток энергии, равны количеству энергии, передаваемой по цепочки в единицу времени. В нашей модели эта величина может быть рассчитана работа, совершаемая в единицу времени (то есть мощность) пружинкой ячейки номер (n − 1) над шариком n-ой ячейки, поэтому

\(~S_{n-1} = P_{n-1} = F_{n-1} \upsilon_n = \gamma (u_{n-1} - u_n) \upsilon_n\) . (20)

Выразим поток энергии через характеристики движения (n − 1)-ой ячейки, для чего используем формулы (11)-(12):

\(~S_{n-1} = \gamma (u_{n-1} - u_n) \upsilon_n = \gamma \left(u_{n-1} - \left(u_{n-1} - \frac{l}{c} \upsilon_{n-1} \right) \right) \left(\upsilon_{n-1} - \frac{l}{c} a_{n-1} \right) = \gamma \frac{l}{c} \upsilon_{n-1} \left(\upsilon_{n-1} - \frac{l}{c} a_{n-1} \right)\) .

Все расчеты мы проводим в длинноволновом приближении, оставляя только малые величины первого порядка, поэтому в полученном выражении следует опустить последнее слагаемое пропорциональное квадрату времени распространения волны между соседними ячейками \(~\left( \frac{l}{c} \right)^2\). В этом случае получаем формулу

\(~S_{n-1} = \gamma \frac{l}{c} \upsilon_{n-1} \left(\upsilon_{n-1} - \frac{l}{c} a_{n-1} \right) = \gamma \frac{l}{c} \upsilon^2_{n-1} = c \frac{\gamma l}{c^2} \upsilon^2_{n-1} = c \frac{m \upsilon^2_{n-1}}{l} = c w_{n-1}\) , (21)

которая разумна и понятна: поток энергии равен произведению плотности энергии на скорость распространения волны. Следует также подчеркнуть, что рассчитанный поток энергии является положительной величиной, то есть действительно энергия постоянно передается в одном направлении. Иными словами, энергия «привязана» к волне и распространяется вместе с ней. Такое же вывод справедлив и для среднего (во времени) потока энергии, который равен произведению средней плотности энергии на скорость волны

\(~ = c <w>\) . (22)</center>

Понятно, что средний поток энергии постоянен вдоль всей цепочки.

Наконец, рассчитаем разность потоков энергии, поступающей в выделенную ячейку и отдаваемую ей следующему соседу за малый промежуток времени

<center>\(~(S_{n-1} - S_n) \Delta t = (c \rho \upsilon^2_{n-1} - c \rho \upsilon^2_n)\Delta t\) .</center>

Для преобразования в очередной раз используем выражение (12) и пренебрегаем слагаемыми второго порядка малости

<center>\(~c \rho \left( \left( \upsilon_n + \frac{l}{c} a_n \right)^2 - \upsilon^2_n \right) \Delta t = c \rho \left( 2 \upsilon_n \frac{l}{c} a_n \right) \Delta t = 2 l \rho \upsilon_n (a_n \Delta t)\) .</center>

Последний шаг преобразований мы выполняли не один раз \(~\upsilon_n (a_n \Delta t) = \upsilon_n \Delta \upsilon_n = \Delta \left( \frac{\upsilon^2_n}{2} \right)\). В итоге получаем

<center>\(~(S_{n-1} - S_n) \Delta t = 2 l \Delta \left( \frac{\rho \upsilon^2_n}{2} \right) = \Delta W_n\) ,</center>

где Wn - полная энергия ячейки (сумма равных между собой кинетической и потенциальной энергий). В итоге получаем искомый результат

<center>\(~(S_{n-1} - S_n) = \frac{\Delta W_n}{\Delta t}\) (23)</center>

- разность потоков энергии поступающей и вытекающей из ячейки равна скорости изменения ее полной энергии. Очевидно и ожидаемо – закон сохранения энергия справедлив и в данном случае!

Полученные результаты могут быть обобщены на случай упругой волны, распространяющейся в трехмерном пространстве. Для такой волны можно ввести объемные плотности кинетической, потенциальной и полной энергии \(~w = \frac{\Delta W}{\Delta V}\) - отношение соответствующей энергии ΔW, заключенной в объеме ΔV к величине этого объема (с последующим переходом ΔV → 0).

Img Slob-10-19-356.jpg

Вместо потока энергии по линейной цепочки необходимо использовать понятие вектора плотности потока энергии \(~\vec S\) : количество энергии, перетекающей в единицу времени через площадку единичной площади, ориентированную перпендикулярно направлению распространения волны (Рис. 356):

<center>\(~\vec S = \frac{\Delta W}{\Delta t \Delta s} \vec n\) . (24)</center>

Для этих «точечных» энергетических характеристик справедливы следующие утверждения:

- средние объемные плотности кинетической и потенциальной энергии равны между собой и пропорциональны квадрату амплитуды волны;
- колебания плотностей кинетической и потенциальной энергии происходят в одной фазе;
- плотность потока энергии равна произведению объемной плотности энергии волны на скорость ее распространения;
- поток вектора плотности потока энергии[4] через любую замкнутую поверхность равен скорости изменения энергии внутри данной поверхности.

В дальнейшем мы убедимся, что аналогичные утверждения справедливы и для электромагнитных волн – то ли природе не хватает разнообразия, то ли нам, людям, воображения.

Примечания

  1. Под средой следует также понимать и электромагнитное поле, распространяющиеся колебания которого являются электромагнитной волной.
  2. Это приближение прекрасно описывает свойства реальных упругих волн – длина звуковых (и ультразвуковых) волн в воздухе значительно превышает длину волны, аналогично, собственные частоты колебаний атомов в кристаллических решетках на много порядков превышают типичные частоты упругих волн. Волновые эффекты, обусловленные дискретностью строения вещества (существование предельных частот, зависимость скорости волны от частоты), проявляются только в специально поставленных сложных экспериментах.
  3. Для волны распространяющейся в трехмерном пространстве, естественно, следует рассматривать энергию, приходящуюся на единицу объема.
  4. Фраза неудачна с точки зрения разговорного языка («поток … потока»), но абсолютно корректна с точки зрения физики и математики: плотность потока энергии – определенная нами векторная физическая величина; ее поток через поверхность – математическая операция.

Смотреть HD

видео онлайн

бесплатно 2022 года