Слободянюк А.И. Физика 10/3.3
§3. Криволинейное движение. Плоскопараллельное движение твердого тела
3.3 Суперпозиция движений
Мы изучили несколько простейших моделей движения. Сейчас постараемся показать, как из этих простых движение можно «конструировать» более сложные и красивые движения. Слово «суперпозиция» обозначает сложение, наложение, сочетание - оно очень часто используется в физике. Возможность такого наложения различных видов движения обусловлена возможностью описывать его в различных системах отсчета и переходить из одной системы в другую по формулам \(~\vec r = \vec r_0 + \vec r\,'\) . Теперь мы можем задавать независимо закон движения в подвижной системе отсчета \(~\vec r\,'(t)\), закон движения самой движущейся системы \(~\vec r_0(t)\) и получать более сложный закон движения. Далее может быть, что и неподвижная система отсчета движется относительно другой «еще более неподвижной» системы, тем самым добавляется еще одно слагаемое и т.д. На этом пути открываются практически неограниченные возможности, рассмотреть их всех невозможно, поэтому мы вынуждены ограничиться несколькими простыми, но красивыми движениями.
Движение тела, брошенного под углом к горизонту можно представить в виде суперпозиции равномерного движения вдоль горизонтальной оси и равноускоренного движения вдоль вертикальной оси. Такой «суперпозиции» можно придать наглядный смысл: пусть в вагоне равномерно и прямолинейно движущегося поезда вверх подброшен небольшой шарик. В системе отсчета, связанной с вагоном, шарик движется вдоль вертикальной прямой с постоянным ускорением свободного падения. А в системе отсчета, связанной с землей, движение шарика будет движением по описанной ранее параболе. Отметим также, что «разложение движения на составляющие» не является однозначным [1]. Так то же движение тела, брошенного под углом к горизонту, можно представить в виде «суммы» равномерного движения вдоль прямой направленной под углом к горизонту, задаваемой вектором начальной скорости, и равноускоренного движения вдоль вертикальной прямой. Фактически эти разложения мы использовали ранее при описании этого движения.
Суперпозиция вращательного и поступательного движений.
Пусть материальная точка А движется по прямому стержню с постоянной скоростью V, а стержень вращается вокруг оси с постоянной угловой скоростью ω. Совместим начало системы отсчета с осью вращения (рис. 28). Тогда расстояние от точки А до начала отсчета и угол поворота стержня зависят от времени по законам l = Vt , α = ωt.
Зависимость декартовых координат точки от времени имеет вид
и описывает движение по спирали.
Еще одна суперпозиция поступательного и вращательного движений.
Пусть колесо радиуса R катится по горизонтальной поверхности без проскальзывания. Точка А расположена на расстоянии a от оси колеса (будем считать, что a может быть как меньше, так и больше R - такие точки можно найти, например, на железнодорожном колесе). Построим семейство траекторий точек колеса.
Пусть в начальный момент времени центр колеса находится в точке O, введем систему координат, ось X которой проходит вдоль поверхности, по которой катится колесо, а ось Y перпендикулярна этой поверхности и проходит через точку O (рис. 29).
Выберем точку А на расстоянии a от центра и первоначально находящуюся на оси Y. Посмотрим как изменится положение этой точки, когда колесо повернется на некоторый угол φ = ωt (на рис. это ∠A’O’D’). Центр колеса сместится на расстояние S и займет положение O’, а точка А окажется в точке А’. Так как движение происходит без проскальзывания, то смещение колеса S = |OO’| = |BD| будет равно длине дуги DB’. Поэтому S = Rφ , где угол φ, естественно, измеряется в радианах. Координаты центра колеса будут равны \(~x_{O'} = S = R \varphi ; y_{O'} = R\) . Рассматривая треугольник O’A’C’ , легко найти координаты рассматриваемой точки А’:
Посмотрите на эти траектории (рис.30) при a, изменяющемся от -3R до 3R (с шагом R/4). Не правда ли, эффектные кривые!
Суперпозиция двух вращательных движений.
Посмотрим, какую траекторию описывает точка M колеса радиуса r, катящегося без скольжения по другой неподвижной окружности радиуса R (рис. 31).
Обозначим φ = ωt - угол поворота колеса, \(~m = \frac{r}{R}\) отношение радиусов колеса и неподвижной окружности. Пусть A - начальное положение рассматриваемой точки. Из геометрических соображений можно получить параметрическое уравнение траектории точки M:
Вид траектории полностью определяется параметром m. Если этот параметр является рациональным числом \(~m = \frac{p}{q}\) , (p, q - целые числа), то траектория является замкнутой.
Посмотрите на различные траектории, описываемые этими уравнениями (рис. 32). На всех рисунках - в центре изображение той окружности, по которой катится колесо.
Примечания
- ↑ Дискуссия о том какое разложение является «правильным» равносильна спору о том, какое разложение «7=5+2» или «7=3+4» точнее описывает свойства «семерки».
Смотреть HD
видео онлайн
бесплатно 2022 года
