Слободянюк А.И. Физика 10/3.4
§3. Криволинейное движение. Плоскопараллельное движение твердого тела
3.4 Суперпозиция и линейность
Возможность «сложения» движений и соответствующих кинематических характеристик имеет и математическое воплощение. Поясним эту взаимосвязь на простейшем примере.
Пусть материальная точка А движется с угловой скоростью \(~\omega' = \frac{\Delta \alpha'}{\Delta t}\) по окружности радиуса r с центром, совпадающим с началом координат системы отсчета X’OY’, которая в свою очередь вращается с угловой скоростью \(~\omega_0 = \frac{\Delta \beta}{\Delta t}\) относительно неподвижной системы отсчета XOY . Угол поворота точки относительно неподвижной системы отсчета, как следует из элементарных геометрических соотношений равен α = α’ + β. Поэтому угловая скорость вращения относительно неподвижной системы отсчета также равна сумме угловых скоростей \(~\omega = \frac{\Delta \alpha}{\Delta t} = \omega' + \omega_0\). Вычислим теперь, с каким центростремительным ускорением движется точка А. Во вращающейся системе отсчета X’OY’ это ускорение равно a’ = (ω’)2·r. Ускорение подвижной системы отсчета относительно неподвижной - a0 = (ω0)2·r . Ускорение же точки А относительно неподвижной системы отсчета a = (ω0 + ω’)2·r ≠ a’ + a0. Таким образом, для угловых (и обычных) скоростей принцип суперпозиции выполняется, а для ускорений нет! Легко заметить, что нарушение принципа суперпозиции для ускорений обусловлено квадратичной зависимостью ускорения от скорости. Скорость же линейно [1] (в данном случае даже пропорциональна) выражается через углы поворота.
В общем случае можно утверждать, что математическим выражением принципа суперпозиции для какой-либо физической величины является линейность уравнений, определяющих эту величину.
Примечания
- ↑ Напомним, что линейная зависимость между величинами y и x выражается уравнением y = kx + b, где k, b - постоянные. Если в этой зависимости b = 0, то говорят, что y и x пропорциональны друг другу.
Смотреть HD
видео онлайн
бесплатно 2022 года
