Слободянюк А.И. Физика 10/9.2

Содержание книги

Предыдующая страница

§9. Электрическое поле и его свойства

9.2. Напряженность электрического поля точечного заряда.

Рассмотрим электрическое поле, создаваемое одним точечным зарядом. Чтобы подчеркнуть, что этот заряд мы рассматриваем как источник поля, обозначим его величину прописной буквой Q (рис. 150).

Возьмем произвольную пространственную точку A. Для определения напряженности электрического поля, поместим в эту точку пробный заряд q. Согласно закону Ш. Кулона, сила, действующая на пробный заряд равна

\(~\vec F = \frac{1}{4\pi \varepsilon_0} \frac{Qq}{|\vec r|^3}\vec r\) ,

где \(~vec r\) — вектор, проведенный от заряда источника Q, к точке A, в которой рассчитывается поле (точку наблюдения). Тогда, по определению, напряженность поля в этой точке равна

\(~\vec E = \frac{\vec F}{q} = \frac{1}{4\pi \varepsilon_0} \frac{Q}{|\vec r|^3} \vec r\) , (1)

и, заметьте, не зависит от величины пробного заряда. Формула (1), определяет напряженность электрического поля, создаваемого точечным зарядом.

Фактически формула (1) определяет вектор напряженности в зависимости от 6 координат: трех координат заряда и трех координат точки наблюдения. Введем декартовую систему координат (рис. 151), пусть в этой положение заряда определяется радиус-вектором \(~\vec r_1\) (или координатами (x₁, y₁, z₁)), а положение точки наблюдения — радиус-вектором \(~\vec r_0\) (или координатами (x₀, y₀, z₀)).

Тогда вектор \(~\vec r\) , соединяющий заряд и точку наблюдения, фигурирующий в формуле (1), равен \(~\vec r = \vec r_0 - \vec r_1\) . Следовательно, напряженность поля в точке наблюдения определяется формулой

\(~\vec E = \frac{Q}{4\pi \varepsilon_0} \frac{\vec r_0 - \vec r_1}{|\vec r_0 - \vec r_1|^3}\) . (2)

Перепишем эту формулу в координатной форме. Длина вектора \(~\vec r = \vec r_0 - \vec r_1\) равна \(~|\vec r_0 - \vec r_1| = \sqrt{(x_0 - x_1)^2 + (y_0 - y_1)^2 + (z_0 - z_1)^2}\) , а его проекция на ось X - \(~(\vec r_0 - \vec r_1)_x = x_0 - x_1\). Следовательно, проекция вектора напряженности на ось X определяется по формуле

\(~E_x = \frac{Q}{4\pi \varepsilon_0} \frac{x_0 - x_1}{\left ((x_0 - x_1)^2 + (y_0 - y_1)^2 + (z_0 - z_1)^2 \right)^\frac{3}{2}}\) . (3)

Две аналогичных формулы надо выписать и для оставшихся компонент вектора напряженности. Оцените очередной раз прелесть векторной записи (2) — во-первых, короче; во-вторых, не зависит от выбора системы координат, хотя конкретные численные расчеты, все равно необходимо проводить в координатной форме.

Следующая страница