Скачать + смотреть онлайн

видео 2022

бесплатно в хорошем качестве HD

Строго запрещено смотреть анал видео. Крутые - все самые шикарные мамки видео. Мега лучший пердос video.

PhysBook
PhysBook
Представиться системе

Kvant. Музыкальная гармония

Материал из PhysBook

Бялко А.В. Физика музыкальной гармонии //Квант. — 1987. — № 5. — С. 41-43.

По специальной договоренности с редколлегией и редакцией журнала "Квант"

Вы знаете, что звуки, окружающие нас, есть не что иное, как колебания давления и плотности воздуха. Среди всего многообразия звуков некоторые оказывают на человека сильное эмоциональное воздействие. Это — звуки музыкальные. Объяснить их особое взаимодействие с мозгом только физическими причинами, разумеется, нельзя. Но можно, говоря словами Пушкина, «поверить алгеброй гармонию».

Согласно дошедшим из древности преданиям, первыми, кто попытался сделать это, были Пифагор и его ученики. Ими было установлено, что одинаково натянутые струны, сделанные из одного материала, издают согласное музыкальное звучание, если их длины относятся, как небольшие целые числа. Например, если взять две струны, одна из которых вдвое короче другой, то извлекаемые из них звуки оказываются согласными. Музыканты в таком случае говорят, что звуки отличаются на октаву, и обозначают их одной нотой: например, «до» первой октавы, «до» второй октавы и т. п.

Посмотрим, с физической точки зрения, как происходят колебания струны с закрепленными концами (рис. 1). Если струну оттянуть посередине и отпустить, она будет совершать колебания, при которых скорости и ускорения всех точек направлены одинаково[1]. Такие колебания определяют основной тон звучания струны. Оказывается, частота ν основного тона струн, сделанных из одного и того же материала и натянутых с одинаковой силой, зависит только от их длины l, причем за висит обратно пропорционально\[~\nu \sim \frac{1}{l}\]. Возможны также и другие колебания струны — с частотой вдвое, втрое и т. д. большей, чем частота основного тона. Их называют обертонами.

Рис. 1. Колебания струны, закрепленной с двух сторон и оттянутой посередине. Каждая следующая картинка отличается по времени от предыдущей на четверть периода колебаний.

Но вернемся к музыкальным звукам. Теперь мы можем сказать, что частоты, соответствующие одной н той же ноте в первой, второй и т. д. октавах, относятся, как 1:2:4:8... А как следует выбирать музыкальные тоны внутри одной октавы, чтобы они тоже звучали согласно? Ответ на этот вопрос дали пифагорейцы, построив музыкальную гамму — согласную последовательность тонов внутри октавы, т. е. указав закон, по которому следует выбирать длины струн для извлечения этих тонов (рис. 2).

Рис. 2. Пифагорова гамма.

Попробуем воспроизвести рассуждения пифагорейцев. Возьмем струну длиной l с частотой основного тона ν1. Соответствующий этой ноте тон в следующей октаве имеет частоту 2ν1 — его можно извлечь из вдвое более короткой струны. Частотный интервал от ν1 до 2ν1, соответствующий одной октаве, мы и будем делить. Как уже упоминалось, весьма согласно звучат струны, длины которых кратны. Поэтому можно ожидать, что звук с частотой \(~\frac{3}{2} \nu_1\), извлекаемый из струны длиной \(~\frac{2}{3} l_1\), также окажется согласным основному тону ν1. Так в пифагоровой гамме появляется звук, называемый квинтой, частота которого в 1,5 раза больше частоты основного тона.

Затем естественно попробовать звучание струны, которая в 1,5 раза длиннее основной. Частота соответствующего ей основного тона составляет \(~\frac{2}{3} \nu_1\) и выходит за пределы рассматриваемой октавы. Однако мы уже знаем, что удвоением, т. е. увеличением на октаву, этот звук можно перевести в рассматриваемый промежуток и получить частоту \(~\frac{4}{3} \nu_1\). Taкой звук называют квартой. Между собой частоты квинты и кварты относятся как \(~\frac{\frac{3}{2} \nu_1}{\frac{4}{3} \nu_1} = \frac{9}{8} = 1,125\). Это отношение и было выбрано пифагорейцами в качестве основного шага — ступени гаммы.

Теперь мы можем воспроизвести весь пифагоров строй (названия тонов в нем происходят от латинских числительных). Основной тон — прима — имеет частоту ν1. Следующий — секунда — частоту ν2 = 1,125 ν1. Еще на один шаг отличается терция: ν3 = 1,125 ν2 = (1,125)2 ν1 = l,2656 ν1. Если бы мы повторили эту процедуру еще раз, то получили бы звук, плохо сочетающийся с основным, и при этом припустили бы уже известную нам кварту, частота которой ν4 = 4/3 ν1 = 1,3333 ν1 (ν4 < (1,125)3 ν1 = l,424 ν1 ). Поэтому в качестве четвертой ступени звукоряда берется кварта, а пятой — также уже известная нам квинта: ν5 = 1,125 ν4 = l,50 ν1. Частоты двух последующих ступеней находятся по обычному правилу: ν6 = 1,125 ν5 = 1,6875 ν1 — секста, ν7 = 1,125 ν6 = 1,8984 ν1 — септима, и последней оказывается октава ν8 = 2ν1 — верхняя граница выбранного нами диапазона частот.

Как нетрудно видеть, из-за начального выбора квинты и кварты в пифагоровом строе возникло два различных интервала: основной интервал, или большая секунда,— \(~1,125 = \frac{\nu_2}{\nu_1} = \frac{\nu_3}{\nu_2} = \frac{\nu_5}{\nu_4} = \frac{\nu_6}{\nu_5} = \frac{\nu_7}{\nu_6}\) и малый интервал или малая секунда ,— \(~1,0535 = \frac{\nu_4}{\nu_3} = \frac{\nu_8}{\nu_7}\). Пифагоровы тоны соответствуют белым клавишам клавиатуры, а черные клавиши размещены как раз между теми белыми, где оказывается большой интервал.

К сожалению, оказывается, что ширина двух малых интервалов — 1,0535 x 1,0535 = 1,110 (поскольку интервалы есть отношения частот, то для вычисления большего интервала входящие в него малые надо перемножать, а не складывать) заметно для слуха отличается от большого — 1,125. Поэтому звуки пифагоровой гаммы неравноправны — гамму не удается начать с любой из нот. Чтобы изменить тональность, музыкальный инструмент нужно настроить заново. Для струнных инструментов это сделать нетрудно, но орган, например, который состоит из множества труб — каждая для своего звука, настраивают при его создании.

Несмотря на это неудобство, пифагорова гамма (наряду с другими типами музыкальных рядов) прослужила музыкантам более двух тысяч лет — до XVI века. Затем получила распространение так называемая диатоническая гамма, которая была построена на частотах, составленных из отношений чисел 2, 3 и 5. Но и она страдала аналогичным недостатком.

Толчком к дальнейшему усовершенствованию музыкального строя, возможно, опять стали физические исследования. Француз М. Мерсенн (1588—1648) установил, как зависит частота колебаний струны не только от ее длины, но и от силы натяжения, сечения струны и плотности материала, из которого она сделана. Вскоре после этого было изобретено фортепиано — инструмент, в котором струны настроены на последовательные музыкальные тоны с частотами от 27,5 до 3520 Гц, схватывающие 7 октав.

Примерно в то же время был создан так называемый хорошо темперированный строй, то есть хроматическая гамма, в которой все последовательные интервалы выбраны равными между собой (рис. 3). Ключом к ее созданию стало математическое совпадение. Оказалось, что степени числа \(~\sqrt[12]{2}\) с хорошей точностью совпадают с пифагоровыми отношениями (сравните их сами) — хроматическая квинта, например, отличается от пифагоровой всего на 0,11 % — такая погрешность неразличима на слух. Поэтому на современных музыкальных инструментах можно играть в любой из 24 тональностей (12 мажорных и 12 минорных). То, что при этом можно добиться согласного звучания независимо от тональности, доказывал Бах, когда писал свой «Хорошо темперированный клавир» — 24 прелюдии и фуги во всех тональностях. Существуют ли физические причины различия между мажором и минором, увы, нам неизвестно до сих пор.

Рис. 3. Хроматическая гамма.

Примечания

  1. О том. как возникают такие колебания, можно прочитать, например, в заметке «О музыкальных звуках и их источниках». (Примеч. ред.)

Смотреть HD

видео онлайн

бесплатно 2022 года