Просмотр исходного текста страницы Kvant. Теорема Карно

У вас нет прав на редактирование этой страницы по следующей причине:

---

Вы можете просмотреть и скопировать исходный текст этой страницы.

'''Черноуцан А. И. О ледниках, скороварках и теореме Карно //Квант. — 1991. — № 3. — С. 39,42-44.''' <p style="text-align:right"> '''По специальной договоренности с редколлегией и редакцией журнала "Квант"'''</p> Если спросить у школьника, почему в морозный день коньки хорошо скользят по льду, то скорее всего можно услышать простой и очевидный ответ: «Конек трется о лед, между ними образуется тонкая водяная смазка, она и обеспечивает скольжение». Однако школьнику, более искушенному в физике, такой ответ покажется слишком простым и потому неинтересным. «Нет,— скажет он,— дело здесь не в трении, а в давлении конька на лед. При повышении давления температура плавления льда становится меньше 0 °С, а лед под коньком тает.» Что же, в принципе и такой ответ имеет право на существование — температура плавления льда действительно понижается при увеличении внешнего давления. Но физика — наука количественная, и поэтому, чтобы выяснить, имеет ли это физическое явление какое-нибудь отношение к катанию на коньках, необходимо сделать численные оценки. Прежде всего обсудим, что такое температура плавления (или точка таяния) льда, чем она интересна. Как известно, при достижении этой температуры лед перестает нагреваться, и поглощаемое им тепло целиком идет на таяние льда. Если же тепло перестанет поступать, оставшийся лед и вода будут находиться в тепловом равновесии. Таким образом, температура плавления — это температура равновесия между водой и льдом при данном давлении. Так, при давлении 1 атм она равна 0 °С. А на сколько изменится эта температура при увеличении давления до 1,01 атм? Оказывается, рассчитать смещение точки плавления льда нам поможет... теорема Карно. Да, да, та самая теорема, в которой идет речь о максимальном КПД тепловых машин. «При чем же здесь точка плавления льда?» — спросите вы. Дело в том, что Карно доказал теорему о максимальном КПД циклической тепловой машины любого типа, независимо от того, что в нее заложено в качестве рабочего тела: идеальный газ, тающий лед или мыльная пленка. Необходимо соблюсти лишь одно условие: машина должна получать тепло только при температуре ''T''₁, а отдавать — только при температуре ''T''₂ (на промежуточных этапах теплообмен не должен происходить). Максимальный КПД такой машины (ее называют идеальной машиной Карно) реализуется при медленном, обратимом режиме ее работы и, независимо от рабочего вещества машины, равен <center><math>~\eta = \frac{A}{Q_1} = \frac{T_1 - T_2}{T_1}</math> , (1)</center> где ''А'' — работа машины за цикл, ''Q''₁ — количество теплоты, полученное машиной от нагревателя. [[Изображение:Img_Kvant-1991-03-004.jpg|frame|center|<center>Рис. 1</center>]] Давайте представим нашу воображаемую машину Карно в виде цилиндра с поршнем (рис. 1, а). Заложим в нее лед массой ''m'' под давлением ''p''₁ = 1 атм при температуре ''t''₁ = 0 °C (''T''₁ = 273 К). Постоянное давление будем обеспечивать грузом, лежащим на поршне. Чтобы подчеркнуть, что вода и лед находятся в равновесии, в уголке сосуда мы изобразили небольшое количество воды. Опишем по этапам, как будет происходить один цикл в нашей машине Карно. [[Изображение:Img_Kvant-1991-03-005.jpg|frame|center|<center>Рис. 2</center>]] # Поставим цилиндр на нагреватель (термостат), имеющий температуру ''T''₁, и передадим системе количество теплоты ''Q''₁= ''λm'', необходимое для плавления всего льда (''λ'' — удельная теплота плавления). При этом поршень с грузом немного опустится (рис. 1, б), так как объем льда <math>~V_l = \frac{m}{\rho_l}</math> больше, чем объем воды <math>~V_v = \frac{m}{\rho_v}</math>. На графике в координатах ''р'', ''V'' (рис. 2) этому процессу соответствует линия ''1—2''. # Снимем сосуд с термостата и теплоизолируем его (рис. 1, в), после чего будем медленно увеличивать давление до тех пор, пока оно не станет равным ''p''₁ + Δ''p'' = 1,01 атм (для этого будем потихоньку подсыпать на поршень песочек). При этом температура системы понизится до значения ''T''₂ = ''T''₁ - Δ''T'', равного температуре плавления льда при давлении 1,01 атм. # Поставим сосуд на термостат с температурой ''T''₂ и будем отбирать тепло до тех пор, пока вся вода снова не замерзнет (рис. 1, г). На графике (см. рис. 2) этому процессу соответствует линия ''3—4''. # Осталось только теплоизолировать сосуд и медленно снять с поршня весь песок — и мы вернемся к начальному состоянию. Теперь проведем расчеты. Работу за цикл легко найти из графика в координатах ''р'', ''V'' — она равна площади фигуры, ограниченной графиком: <center><math>~A = \Delta p(V_l - V_v) = \Delta p \left(\frac{m}{\rho_l} - \frac{m}{\rho_v} \right)</math> .</center> Количество теплоты, полученное от нагревателя, равно <center><math>~Q_1 = \lambda m</math> .</center> Поэтому из теоремы Карно (1) получаем <center><math>~\frac{\Delta p \left(\frac{m}{\rho_l} - \frac{m}{\rho_v} \right)}{\lambda m} = \frac{\Delta T}{T_1}</math> ,</center> или, для любой температуры ''T''₁ = ''Т'', <center><math>~\Delta T = \Delta p \frac{T}{\lambda} \left(\frac{1}{\rho_l} - \frac{1}{\rho_v} \right)</math> . (2)</center> Это соотношение называют уравнением Клапейрона — Клаузиуса. Подставив в него численные значения, получим, что при Δ''p'' = 0,01 атм Δ''T'' = 9,2·10^-5 К. Видно, что эффект очень слабый. Для изменения температуры плавления на 1 К, например, придется создать давление ≈ 133 атм. Вернемся, однако, к нашим конькам. Давление человека в коньках можно оценить как <math>~p = \frac{mg}{S}</math>≈ 600 Н / 2 см² = 30 атм. Тогда смещение точки плавления под коньками составит «0,3 К, что, конечно, очень мало в морозный день. Так что прав оказался «наивный» школьник: смазка образуется в первую очередь за счет трения. А какова же в таком случае роль коньков? Ведь они все-таки нужны! Не обсуждая подробно «физику катания», отметим один очевидный факт: для смазки поверхности конька, площадь которой мала, нужно растопить гораздо меньше льда, чем для смазки подошвы ботинка. Встречаются ли в окружающей нас действительности такие давления, при которых происходит заметное смещение точки плавления льда? Безусловно, встречаются. Приведем лишь один пример — преодоление препятствий сползающим по склону тяжелым ледником. В том месте, где ледник упирается в кусок скалы или камень, создается очень большое давление, и лед начинает подтаивать. Ледник как бы оплывает камень в своем движении, пропуская его сквозь себя. После «снятия» давления вода на леднике снова замерзает. «Это, конечно, интересно, но уж очень экзотично,— скажете вы.— Неужели это все, чего мы достигли?» Нет, конечно. Посмотрим внимательно на наш результат. Мы научились вычислять, как меняется температура равновесия двух фаз — жидкость (вода) и твердое тело (лед) — при изменении внешнего давления. Самое замечательное то, что вместо этих фаз можно взять любые другие, лишь бы они находились в тепловом равновесии друг с другом. Например, жидкость — пар, металл — расплав, твердое тело — пар и т. д. Другими словами, уравнение Клапейрона — Клаузиуса справедливо не только для плавления, но и для любого другого процесса перехода вещества из одной фазы в другую (испарение, сублимация и пр.). В формулу (2) тогда войдут плотности вещества в этих фазах и соответствующая удельная теплота фазового превращения. В качестве примера рассмотрим переход вода — пар. Как вы знаете, пар, находящийся в равновесии с водой, называют насыщенным. Зависимость между температурой насыщенного пара и его давлением используется для расчета влажности воздуха, определения точки росы и т. д. Кроме всего прочего, температура насыщенного пара (температура равновесия вода — пар) определяет точку кипения воды при данном внешнем давлении. Так, при давлении 1 атм температура кипения равна 100 С (373 К). С другой стороны, хорошо известно, что давление насыщенного пара растет при увеличении температуры. На этом свойстве — росте температуры кипения с давлением основан, в частности, принцип работы скороварки, где продукты готовятся при большем давлении и большей температуре. [[Изображение:Img_Kvant-1991-03-006.jpg|frame|center|<center>Рис. 3</center>]] В чем же различие между процессами таяния льда и испарения воды? Почему в одном случае температура равновесия фаз с ростом давления уменьшается, а в другом увеличивается? Дело вот в чем. Когда лед поглощает тепло и плавится, объем системы уменьшается (плотность воды больше плотности льда), а когда вода поглощает тепло и испаряется, объем системы увеличивается (плотность насыщенного пара меньше плотности воды). Однако график цикла в координатах ''р'', ''V'' и в том, и в другом случае должен идти по часовой стрелке — иначе работа машины за цикл будет отрицательной. Сравните ход обоих графиков (см. рис. 2 и 3) и вы поймете, почему в одном случае большему давлению соответствует меньшая температура, а в другом — наоборот. Попробуйте, кроме того, продумать последовательность действий, которые надо совершить с сосудом, содержащим воду и пар, чтобы получился изображенный на графике цикл Карно. Мы же завершим наш рассказ численной оценкой смещения точки кипения при увеличении давления от 1 атм до 1,01 атм. Для этого в формуле (2) заменим удельную теплоту плавления льда на удельную теплоту парообразования воды ''r'', а плотность льда — на плотность насыщенного пара ''ρ''_p: <center><math>~\Delta T = \Delta p \frac{T}{r} \left(\frac{1}{\rho_p} - \frac{1}{\rho_v} \right)</math> .</center> Плотность насыщенного водяного пара при ''Т'' = 373 К и ''р'' = 1 атм найдем из уравнения Менделеева — Клапейрона: <center><math>~\rho_p = \frac{pM}{RT}</math> ≈ 0,58 кг/м³.</center> Подставляя численные значения, для Δ''p'' = 0,01 атм получаем Δ''T'' ≈ 0,28 К. Как видите, в этом случае эффект довольно заметный: чтобы увеличить температуру кипения на 1 К, надо поднять давление всего на 0,035 атм, что вполне реально даже при обычных условиях. [[Категория: Журнал "Квант"]] [[Категория: Школа в «Кванте»]] [[Категория: Твердые тела]] [[Category:I закон термодинамики]] [[Category: II закон термодинамики]]

Возврат к странице Kvant. Теорема Карно.