Решение. Относительность движения. B16

Условие

B16. Скорость течения 3 м/с, а рыбак может грести со скоростью 5 м/с при неподвижной воде. Определите время, необходимое рыбаку, чтобы спуститься на 40 м вниз по течению и на столько же подняться вверх.

Решение

По условию дано перемещение рыбака относительно земли Δr_ton = Δr_ton1 + Δr_ton2, где величины с индексом «1» характеризуют движение рыбака по течению, а с индексом «2» – против течения;Δr_ton1 = Δr_ton2 = 40 м. Тогда время найдем по формуле \(~t = t_1 + t_2 = \frac{\Delta r_{ton1x}}{\upsilon_{ton1x}} + \frac{\Delta r_{ton2x}}{\upsilon_{ton2x}}\) .

Найдем υ_ton1 и υ_ton2.

Так как заданы скорость рыбака при неподвижной воде и скорость течения, то скорость рыбака при неподвижной воде υ_top = υ_r = 5 м/с – это скорость относительно воды (относительно подвижной системы); υ_c = υ_t = 3 м/с.

Запишем закон сложения скоростей в векторном виде \(~\vec \upsilon_{ton} = \vec \upsilon_c + \vec \upsilon_{top} = \vec \upsilon_t + \vec \upsilon_r\) и в проекции на ось 0X.

Движение по течению. υ_ton1x = υ_t + υ_r (рис. 1 а). Так как υ_ton1x > 0, то Δr_ton1x > 0.

Рис. 1 а

Движение против течения. υ_ton2x = υ_t - υ_r (рис. 1 б). Так как υ_ton2x < 0, то Δr_ton2x < 0.

Рис. 1 б

Тогда \(~t = \frac{\Delta r_{ton1}}{\upsilon_t + \upsilon_r} + \frac{-\Delta r_{ton2}}{\upsilon_t - \upsilon_r} = \frac{\Delta r_{ton1}}{\upsilon_t + \upsilon_r} + \frac{\Delta r_{ton2}}{\upsilon_r - \upsilon_t}\) ; t = 25 с.

Полученное уравнение можно было упростить \(~t = \Delta r_{ton1} \cdot \frac{\upsilon_r - \upsilon_t + \upsilon_r + \upsilon_t}{\upsilon^2_r - \upsilon^2_t} = \frac{2 \upsilon_r \cdot \Delta r_{ton1}}{\upsilon^2_r - \upsilon^2_t}\) .