Kvant. Откуда берутся облака?

Материал из PhysBook

Айзенкрафт А., Кирпатрик Л. Откуда берутся облака? //Квант. — 1996. — № 5. — С. 40-41.

По специальной договоренности с редколлегией и редакцией журнала "Квант"

О вечные Тучи, о дочери Моря!

Поднимемся ввысь от бушующих хлябей

И к горным вершинам полет наш направим,

Омоем дождями цветущие склоны...

Аристофан

Как проще всего подвесить в воздухе сто тысяч литров воды? Сделайте облако! То, что влажный воздух легче сухого и должен подниматься вверх, звучит очень странно. Тем не менее так и есть — и каждое кучевое или перистое облако подтверждает это лишний раз всем разнообразием своих форм. «Разобравшись» с облаками, мы многое узнаем и о свойствах газов, и об атмосферных явлениях. Например, прочитав, что на западных склонах Скалистых Гор обилие влаги, а на восточных — засушливо, мы сразу сможем сделать вывод, что ветра в тех краях дуют с запада, т.е. с Тихого Океана.

Как-то в прошлом году я зашел в магазинчик, чтобы купить надувной шарик из блестящей пленки. (Такие шарики, в отличие от привычных нам резиновых, — нерастяжимы, как будто сделаны из тонкой бумаги. — Прим. перев.) Меня спросили, что написать на шарике. Я вывел на листе бумаги:

.

Продавщица недоуменно спросила, что это означает. Выяснилось, что в школе она все же изучала химию, и я решил, что она способна понять, как формула идеального газа связана с ее нынешней работой. Я спросил, не бывало ли зимой такого, чтобы покупатели шариков через несколько минут возвращались с жалобой на то, что шарик «спускает». Продавщица ответила, что такое действительно случалось, и ей приходилось каждый раз объяснять, что шарик снова раздуется, когда его внесут в дом. Обычно за время объяснения шарик как раз успевал раздуться до прежних размеров. Загадочное уравнение на моем шарике прекрасно объясняет, что же при этом происходило.

Закон идеального газа описывает поведение такого газа в закрытом сосуде. Здесь p — давление, V — объем, Т — температура газа (обязательно в Кельвинах), ν — количество газа (в молях) и R — газовая постоянная. Например, в моем шарике давление постоянно и равно атмосферному. (В отличие от резинового шарика! — Прим. перев.) Внутри магазина шарик полностью надут, а температура газа такая же, как в магазине. Когда покупатель выходит с шариком на холодную улицу, газ начинает остывать. Поскольку давление остается тем же, снижение температуры приводит к уменьшению объема, и шарик съеживается. Когда покупатель возвращается в магазин, газ начинает согреваться, и шарик чудесным образом надувается опять.

Другой пример действия нашего закона - накачивание велосипедной шины. В этом случае объем шины почти не меняется. При накачивании растет давление — и соответственно растет температура воздуха в шине. Если потрогать шину, она окажется теплой. (Реально это можно почувствовать только у гоночного велосипеда — у дорожного шины слишком толстые. — Прим. перев.) Зимой автомобильные шины могут быть слегка недокачаны в начале поездки, но при езде они согреются, и давление станет нормальным.

Закон идеального газа может также объяснить, как работает скороварка, почему при движении мышцы диафрагмы наши легкие делают вдох и почему шар, заполненный нагретым воздухом, может летать.

Физики и инженеры часто изображают процессы, происходящие с газами, линиями на р—V-диаграмме, т.е. на графике, где по вертикали отложено давление, а по горизонтали — объем. Например, процесс, идущий при постоянной температуре, изображается гиперболой — поскольку , a νRT — постоянная величина.

Особый интерес представляют четыре типа процессов. Первые три происходят, соответственно, при постоянной температуре, постоянном объеме и постоянном давлении. В четвертом же нет никакой передачи тепла — ни газу, ни от газа. Такой процесс называется адиабатическим и происходит, в частности, при очень быстрых изменениях — например, когда в воздухе распространяется звуковая волна. Если данная система теплоизолирована — процессы в ней также адиабатические. Так, газ в теплоизолирующем цилиндре с поршнем будет расширяться адиабатически, если медленно выдвигать поршень.

При адиабатическом расширении, очевидно, изменяются и температура, и объем, и давление газа. К счастью, между давлением и объемом в таком процессе есть простая связь:

,

где γ — отношение теплоемкостей газа при постоянном давлении и постоянном объеме. Так, для двухатомных газов .

Сказанного здесь вполне достаточно для участия в конкурсе этого месяца. Задача, в которой рассматривается образование облака на склоне горы, предлагалась на XVIII Международной физической олимпиады (1987 г.).

Задача

Поток влажного воздуха адиабатически переваливает через горный хребет (см. рисунок). На метеостанциях M₀ и M₃ атмосферное давление одно и то же и равно 100 кПа, а на M₂ оно 70 кПа. Температура воздуха на станции M₀ составляет 20 °С. Когда воздух поднимается по склону до уровня станции M₁, где давление 84,5 кПа, возникают облака и начинает идти дождь. Влажный воздух, масса которого равна 2000 кг/м², поднимается по склону горы до гребня за 1500 с. За это время из каждого килограмма воздуха выпадает 2,45 г дождя.

1. Найдите температуру воздуха на станции M₁, где появляются облака.
2. Считая, что плотность воздуха линейно падаете высотой, найдите высоту станции M₁.
3. Какова температура на гребне горы ?
4. Сколько миллиметров осадков выпадет на склоне за три часа дождя, если между пунктами M₁ и M₂ дождь идет с одинаковой интенсивностью?
5. Какова температура воздуха на метеостанции M₃? Сравните свойства воздуха в точках M₀ и M₃.

Замечания. Воздух можно считать идеальным газом. Влиянием водяного пара на плотность воздуха можно пренебречь. Плотность воздуха на станции M₀ равна ρ₀ = 1,189 кг/м³. Удельная теплота испарения воды в туче r = 2500 кДж/кг.

АлексЛи, ученик Хот Розмари Холл, хорошо разобрался с облаками. Мы приводим его решение задачи нашего конкурса.

Решение

1. Поскольку воздух поднимается адиабатически,

.

Кроме того,

.

Отсюда

, и T₁ = 279,4 К = 6,4 °C.

2. Найдем разность давлений в пунктах M₁ и M₀. Ясно, что она создается весом «дополнительного» воздуха. Рассмотрим воображаемый цилиндр площадью S и высотой h₁. Тогда

,

где m — масса воздуха в цилиндре. Поскольку по условию плотность воздуха меняется линейно, можно записать

,

где ρ — плотность воздуха. Значение плотности ρ₁, найдем из уравнения

,

откуда

ρ₁ = 1,054 кг/м³ .

Таким образом,

= 1400 м.

3. Для расчета температуры на гребне горы заменим реальный процесс двумя последовательными и будем считать, что сначала воздух адиабатически поднимается до гребня горы, а затем, на вершине, сразу выпадает весь дождь — при постоянном давлении. Тогда

.

Температура воздуха у вершины до выпадения дождя будет

= 264,8 К.

После выпадения дождя в каждом килограмме воздуха вьшелится количество теплоты Q = rm (здесь m = 2,45 г/кг). Процесс нагрева воздуха этим теплом — изобарический, и удельная теплоемкость воздуха составляет = 1000 Дж/(кг·К), где М = 29 г/моль — молярная масса воздуха. Отсюда

= 6,1 К.

В итоге получаем

= 270,9 К.

4. Из поднимающегося по склону столба воздуха каждую секунду выделяется

(2000 кг/м²) · (2,45 г/кг) / 1500 с = 3,3·10^-3 кг/(м²·с)

осадков, или, поскольку плотность воды составляет 1000 кг/м³,

3,3·10^-3 кг/(м²·с) / (10³ кг/м³) = 3,3·10^-6 м/с .

За три часа, или за 3 · 3600 с, выпадает осадков соответственно

35,3·10^-3 м = 35,3 мм.

5. Переваливший через гребень воздух будет опускаться адиабатически. Поэтому

= 300 К = 27 °С.

Если бы не было дождя, T₃ было бы равно T₀, т.е. 20 °С. Из-за дождя на склоне воздух приходит на станцию M₃ теплее и суше, чем он был на станции M₀.

Примечание редакции

В условии задачи было задано то количество воды, которое выпадает из облака в виде дождя. Однако его можно легко оценить, зная относительную влажность воздуха у подножия горы. При этом можно также оценить, при какой температуре и на какой высоте начнется выпадение дождя. Попробуйте проделать такие расчеты самостоятельно (приняв, например, что относительная влажность у подножия горы составляет 80%) и сравните с данными в условии задачи.