Kvant. Старинное оружие

Дроздов В. Старинное оружие //Квант. — 1995. — № 3. — С. 35.

По специальной договоренности с редколлегией и редакцией журнала "Квант"

Дальность эффективной стрельбы из лука 100—150 м (на состязаниях она доходила до 900 м).

БСЭ, том 25

Хотя лук и стрелы давно уже перестали быть оружием, перейдя в область спорта и детских игрушек, приведенная дальность стрельбы из боевого лука на первый взгляд может показаться неправдоподобно большой. Правда относительно недавно газета «Известия» рассказывала о попадании в цель из лука с расстояния 536 м. Для сравнения заметим, что стрела из самодельного лука пролетает примерно 50 м.

Проверим возможности боевого лука с помощью законов физики. Нужные для расчетов величины, характеризующие лук и стрелы, возьмем из литературы. Обычно луки классифицировались по силе F, необходимой для их полного натяжения. В британских единицах различались луки малого, среднего и большого натяжения. В современных единицах это соответствует силам натяжения 648 , 864 и 1079 Н. Длина стрелы l составляла, как правило, от 60 до 100 см, а ее диаметр d — соответственно от 0,5 до 1,2 см.

Будем считать лук упругим телом, подчиняющимся закону Гука. Тогда по закону сохранения энергии имеем

\(~\frac{m \upsilon^2_0}{2} = \frac{F(l - h)}{2}\) ,

где υ₀ — начальная скорость стрелы массой m, h — максимальный прогиб лука (пусть, для определенности, \(~h = \frac l2\)). Очевидно, что сопротивление воздуха играет весьма важную роль при полете стрелы (иначе зачем делать ей оперение?). Однако точно учесть сопротивление воздуха очень трудно, так что придется делать оценочный расчет, результат которого все же не будет отличаться от истинного в «разы».

Оценим максимальную дальность полета стрелы L, исходя из следующих соображений. Известно, что в отсутствие сопротивления воздуха максимальная дальность полета тела, брошенного под углом к горизонту, равна \(~\frac{\upsilon^2_0}{g}\) (проверьте это). А максимальная высота подъема тела, брошенного вертикально вверх с той же начальной скоростью, равна \(~\frac{\upsilon^2_0}{2g}\) , т.е. вдвое меньше. Примем, что такое же соотношение существует и при наличии сопротивления воздуха (это разумно, поскольку сопротивление уменьшает обе эти величины).

Итак, пусть тело брошено вертикально вверх. Наибольшую высоту подъема Н найдем из закона сохранения энергии

\(~mgH - \frac{m \upsilon^2_0}{2} = A\) ,

где А — работа силы сопротивления воздуха при вертикальном подъеме стрелы. При достаточно быстром, хотя и далеком до скорости звука, движении стрелы силу сопротивления воздуха можно считать пропорциональной квадрату ее скорости\[~F_c = k \upsilon^2\]. Поскольку мы лишь делаем оценки, нет смысла точно вычислять работу А. Положим, что

\(~A = -F_{c\ cp} H\) ,

где

\(~F_{c\ cp} = \frac{k \upsilon^2_0}{2}\)

— «среднее» значение силы сопротивления воздуха. Тогда получим

\(~H = \frac{\upsilon^2_0}{2g + \frac{k}{m} \upsilon^2}\) .

Значит, максимальная дальность полета стрелы равна

\(~L = \frac{\upsilon^2_0}{g + \frac{k}{2m} \upsilon^2}\) .

Легко проверить, что хотя величина υ₀ входит и в числитель, и в знаменатель, максимальная дальность полета стрелы монотонно возрастает с ростом начальной скорости (это подтверждает разумность вычислений).

Размерный коэффициент пропорциональности k обычно записывается в виде

\(~k = \frac c2 \rho S\) ,

где ρ — плотность среды, S — максимальная площадь сечения тела плоскостью, перпендикулярной его скорости, с — безразмерная величина, обычно меньшая чем 1. Заметим, что, пропорциональность силы сопротивления произведению ρSυ² можно установить, например, из соображений размерностей. (А можно и вывести более строго. См., например, статью А.Гросберга в этом номере журнала. — Прим. ред.) Из опыта ясно, что если вектор скорости стрелы совпадает с нею, то сопротивление воздуха минимально, при этом \(~S = \frac{\pi d^2}{4}\). Если вектор скорости стрелы перпендикулярен к ней, то сопротивление воздуха максимально — при этом S = ld. Во время полета стрелы, пущенной из лука, угол между стрелой и ее скоростью меняется с течением времени. Какую же величину S взять для расчета? «Сбалансируем» сомножители с и S так: пусть с = 1, а \(~S = \frac{\pi d^2}{4}\).

Отметим, в связи с этим, что наконечник стрелы играет двоякую роль. Он не только является «боеголовкой» стрелы, но и увеличивает дальность полета, уменьшая угол между стрелой и ее скоростью. (Это легко проверить на опыте.)

	Стрела
	малая	средняя	большая
m, г	11,24	35,76	84,13
υ0, м/с	131,5	98,3	80,1
L, м	885	655	509,6

Возьмем для расчетов, результаты которых приведены в таблице, три дубовые стрелы: «малую» (l = 60 см, d = 0,5 см, масса наконечника 3 г) для лука малого натяжения, «среднюю» (l = 80 см, d = 0,85 см, масса наконечника 4 г) для лука среднего натяжения и «большую» (l = 100 см, d = 1,2 см, масса наконечника 5 г) для лука большого натяжения. Видим, что дальность полета стрел, указанная в начале статьи, вполне реальна.