Kvant. Электрическое и магнитное поля

Белкин И.К. Электрическое и магнитное поля //Квант. — 1984. — № 3. — С. 28-31.

По специальной договоренности с редколлегией и редакцией журнала "Квант"

Вокруг всякого покоящегося в некоторой системе отсчета электрического заряда q существует, как известно, электростатическое поле. Если этот заряд точечный, то напряженность поля в любой точке на расстоянии r от него определяется формулой:

\(~E = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{q}{r^2}\) . (1)

Сила взаимодействия двух покоящихся точечных зарядбв q и q’, находящихся на расстоянии r друг от друга, равна

\(~F_{el} = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{qq'}{r^2}\) . (2)

Если заряды одинаковые (q = q’), то

\(~F_{el} = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{q^2}{r^2}\) . (2')

Это хорошо известный закон Кулона. Подчеркнем, что эгот закон был установлен экспериментально. Входящая в формулы (1), (2) величина ε₀ — это электрическая постоянная, равная 8,85·10^-12 Кл²/(Н·м²).

Обсудим теперь ситуацию с зарядом, движущимся с постоянной скоростью \(~\vec \upsilon\). Скорость \(~\vec \upsilon\) мы измеряем относительно заранее выбранной системы отсчета, которую мы условно считаем неподвижной и обозначим буквой К.

Движущийся заряд — это электрический ток, а вокруг тока существует магнитное поле. Значит, движение заряда приводит к появлению магнитного поля в рассматриваемой нами системе отсчета К.

Обратите внимание на то, что если бы мы перешли в систему отсчета К’, движущуюся относительно системы К со скоростью, равной скорости заряда \(~\vec \upsilon\) никакого магнитного поля в этой системе не было бы (помещенная там магнитная стрелка (компас) оставалась бы в покое).

Вернемся, однако, снова в систему К. Из опыта мы знаем, что магнитное поле действует на электрический ток, а значит, и на движущийся заряд. Понятно, что между электрическими и магнитными явлениями должна существовать тесная связь.

Рассмотрим простой пример. Пусть заряд q движется со скоростью \(~\vec \upsilon\) (в системе К). Тогда в пространстве вокруг него есть и электрическое, и магнитное поля. Пусть теперь в какой-то точке, где электрическое и магнитное поля созданы зарядом q, оказался другой заряд q’, который движется со скоростью \(~\vec \upsilon\). Очевидно, что на него будут действовать электрическая и магнитная силы. Аналогичное утверждение можно сделать и про заряд q.

Если заряды движутся со скоростями не слишком большими (что такое «не слишком большие», выяснится ниже), то их электрические поля в каждый момент времени практически не отличаются от случая покоящихся зарядов, а силу электрического взаимодействия зарядов можно подсчитывать по закону Кулона (2).

Мы ограничимся дальше случаем не очень быстро движущихся зарядов. В этом случае можно довольно просто сравнить магнитные и электрические силы. Мы сделаем это для двух зарядов, скорости которых в некоторый момент оказались параллельными друг другу и перпендикулярными к линии, соединяющей эти заряды (рис. 1).

Рис. 1

Прежде вгего нам нужно понять, как индукция магнитного поля \(~\vec B\), создаваемого движущимся зарядом, связана с величиной этого заряда q и его скоростью \(~\vec \upsilon\). Проведем из точки, где находится заряд q в точку, в которой мы хотим вычислить индукцию \(~\vec B\), радиус-вектор \(~\vec r\). Обобщение результатов опытов показывает, что величина индукции определяется формулой

\(~B = kq \frac{\upsilon}{r^2} \sin \varphi\) . (3)

Здесь \(~r = |\vec r|\), φ - угол между векторами \(~\vec \upsilon\) и \(~\vec r\), a k — постоянная, определяемая опытным путем и равная 10^-7 Н·с²/Кл². Для интересующего нас случая φ = 90° и

\(~B = k\upsilon \frac{q}{r^2}\) . (3')

Направление вектора \(~\vec B\) определяется по правилу буравчика (правого винта): если вращать вектор \(~\vec \upsilon\) по направлению к вектору \(~\vec r\) в той плоскости, в которой они оба лежат, и так, чтобы вращение происходило в направлении минимального утла между \(~\vec \upsilon\) и \(~\vec r\), то вектор \(~\vec B\) направлен перпендикулярно указанной плоскости и «смотрит» туда, куда «смотрел бы» ввинчиваемый буравчик (рис. 2).

Рис. 2

В формулы (3) и (3') входит в качестве множителя то же отношение \(~\frac{q}{r^2}\), которое содержится и в выражении для напряженности электрического поля, создаваемого зарядом q в точке, где находится заряд q’. Это замечание позволяет нам установить связь между величинами В и Е. Учитывая (1), получаем

\(~B = k\upsilon \frac{q}{r^2} = 4 \pi \varepsilon_0 k \upsilon E\) .

Обозначим еще \(4 \pi k = \mu_0\), тогда

\(~B = \varepsilon_0 \mu_0 \upsilon E\) . (4)

Входящая в (4) величина μ₀ носит название магнитной постоянной (по аналогии с электрической постоянной ε₀). Зная k, мы вычислим μ₀ = 1,256·10^-6 Н·с²/Кл².

Теперь, когда мы умеем вычислять магнитную индукцию В в точке, где находится заряд q’, можно определить и магнитную силу (силу Лоренца), действующую на заряд q’. В общем случае сила Лоренца

\(~F_L = q' \upsilon' B \sin \alpha\) . (5)

Здесь α — угол между векторами \(~\vec \upsilon'\) и \(~\vec B\). Направление вектора \(~\vec F_L\) определяется тоже по правилу правого буравчика (вектор \(~\vec \upsilon\) нужно поворачивать в направлении минимального угла к вектору \(~\vec B\) в плоскости, в которой лежат оба этих вектора, вектор \(~\vec F_L\) перпендикулярен этой плоскости).

В нашем случае угол α также равен 90°, и на заряд q’ действует сила

\(~F_m = q' \upsilon' B\) .

Подставляя сюда В из (3'), получим

\(~F_m = k \frac{q q' \upsilon \upsilon'}{r^2} = \frac{\mu_0}{4 \pi} \frac{q q' \upsilon \upsilon'}{r^2}\) . (6)

Электрическая сила, действующая между q и q’, определяется формулой (2). Предположим теперь еще, что q = q’, а \(~\vec \upsilon = \vec \upsilon'\). Тогда отношение

\(~\frac{F_m}{F_{el}} = \varepsilon_0 \mu_0 \upsilon^2\) .

Зная определенные из опыта постоянные ε₀ и μ₀, мы легко убедимся в том, что

\(~\frac{1}{\varepsilon_0 \mu_0} = 0 \cdot 10^{16} \frac{m^2}{c^2}\) .

Но стоящая в этой формуле справа величина есть квадрат скорости света! Это, конечно, не случайное совпадение. Обозначая скорость света буквой с, получим окончательно:

\(~\frac{1}{\varepsilon_0 \mu_0} = c^2\) . (7)

и

\(~\frac{F_m}{F_{el}} = \left( \frac{\upsilon}{c} \right)^2\) . (8)

Это очень важные формулы. Формула (7) еще раз подтверждает существование глубокой связи электрических и магнитных явлений. Из формулы (8) мы можем сделать вывод, что отношение магнитных и электрических сил для многих практически интересных случаев оказывается малой величиной. Например, обычно направленная скорость электронов в металле при прохождении тока составляет десятые доли миллиметра в секунду. В таких случаях магнитное взаимодействие электронов примерно в 10²⁴ раз меньше их электрического взаимодействия. Стоит ли вообше считаться с магнитным взаимодействием движущихся зарядов? Оказывается, стоит и вот почему. Во всяком проводнике имеются в равном числе заряженные частицы обоих знаков. Поэтому проводники с током электрически практически нейтральны. Электрические силы в проводниках с огромной точностью скомпенсированы, а при их отсутствии даже очень малые магнитные силы оказываются существенными. В электрических моторах движущиеся в их обмотках электроны взаимодействуют именно магнитными силами. Именно за счет магнитных сил приводятся в движение двигатели.

Вспомним теперь, что в наших рассуждениях мы сделали допущение о «ие слишком больших скоростях». Теперь можно сказать, что мы имели в виду малость скоростей частиц по сравнению со скоростью света. Это было нужно нам для того, чтобы не возникло необходимости пользоваться более сложными (релятивистскими) формулами. Например, при скоростях заряженных частиц, близких к скорости света, уже нельзя записывать формулу для напряженности электрического поля в виде (1).

Так же, как и другие физические величины, например, скорости и ускорения частиц, силы, действующие на них, напряженность электрического поля и индукция магнитного поля зависят от того, в какой системе отсчета мы их рассматриваем (измеряем). Выше мы уже говорили, например, о том, что если магнитное поле существует в системе К, то из-этого еще не следует, что оно сохранится в системе К’. Система К’, которую мы рассматривали, двигалась со скоростью, равной скорости \(~\vec \upsilon\) интересовавшего нас заряда. И магнитное поле в системе К’ отсутствовало. В общем случае и вектор \(~\vec E\), и вектор \(~\vec B\) относительны, то есть зависят от того, в какой системе отсчета находится наблюдатель с приборами, измеряющими эти величины.

Для нас существенно то, что при скоростях, малых по сравнению со скоростью света, электрическое поле изменяется мало. Количественной характеристикой этой малости как раз и служит отношение \(~\left( \frac{\upsilon}{c} \right)^2\).

Заметим, впрочем, что формула (8) оказывается справедливой и при скоростях, близких к скорости света. Поэтому для релятивистских частиц, движущихся со скоростью, лишь немногим меньшей скорости света, величины магнитных и электрических сил могут отличаться не очень сильно.

Подводя итог нашим вычислениям, еще раз подчеркнем, что для многих задач магнитное взаимодействие оказывается существенным, даже если оио мало по сравнению с электрическим.

Остановимся совсем кратко на других отличиях магнитного и электрического (электростатического) полей. Одно из этих отличий состоит в том, что линии действия электрических сил (силовые линии электростатического поля) имеют начало и конец. Они начинаются на положительных зарядах и кончаются на отрицательных. Работа при перемещении заряда между двумя фиксированными точками в электростатическом поле не зависит от формы и длины траектории, а работа, совершаемая при движении заряда по замкнутой траектории, равна нулю. Благодаря этому свойству электростатического поля каждая его точка характеризуется не только напряженностью, но и потенциалом.

Линии же магнитной индукции, в отличие от силовых линий электростатического поля, не имеют начала и конца. Они замкнуты и охватывают ток. Каждая точка магнитного поля характеризуется величиной магнитной индукции, но не потенциалом.

Сила, действующая на заряд в электростатическом поле, всегда направлена по касательной к силовым линиям. Если рассматривать в магнитном поле участки проводников с током или движущиеся заряженные частицы, то силы, действующие на них, направлены не по касательной к линиям индукции, а перпендикулярно к ним (сила Лоренца, закон Ампера). Сила в магнитном поле может вовсе не вызывать поступательного движения, а лишь поворот (рамка с током в однородном магнитном поле; движение заряда по окружности в плоскости, перпендикулярной однородному магнитному полю).

Все сказанное говорит о том, что электростатическое поле во многом не похоже на магнитное. Связь электрических и магнитных полей вовсе не означает, что между ними не существует различий.