Kvant. p идеального газа

Кикоин А.К. Давление идеального газа //Квант. — 1983. — № 10. — С. 35-37.

По специальной договоренности с редколлегией и редакцией журнала "Квант"

Вывод выражения для давления идеального газа

\(~p = \frac 13 nm \overline{\upsilon^2} = \frac 23 n \frac{m \overline{\upsilon^2}}{2}\) ,

приведенный в учебнике «Физика 9», основан на предположении, что молекулы ударяются о стенку сосуда обязательно упруго. Покажем, что эту же формулу можно получить и не делая никаких предположений о характере ударов молекул о стенку.

Достаточно знать, что молекулы движутся хаотически. Это, в частности, означает, что в любой момент времени число молекул, движущихся во взаимно противоположных направлениях, одинаково.

Кроме того, мы знаем, что давление р газа равно по определению

\(~p = \frac FS\) ,

где F — сила, действующая на перпендикулярную ей поверхность площадью S. Значит, нам предстоит вычислить силу F. Это мы сделаем, пользуясь законами механики Ньютона.

Поместим наш газ в сосуд в виде прямоугольного параллелепипеда и направим оси координат X, Y и Z вдоль его ребер, как показано на рисунке. Найдем силу, с которой газ действует, например, на правую стенку сосуда. Очевидно, что ее надо обозначить через F_x.

По третьему закону Ньютона эта стенка сама;действует на прилегающий к ней слой газа с силой — F_x (на рисунке этот слой газа заштрихован). Из второго закона Ньютона следует, что сила —F_x должна сообщить нашему слою (как и всякому телу) импульс, равный —F_xt, где t — время действия силы. Но наш слой газа находится в покое (как и весь газ в сосуде), и импульс этого слоя равен нулю. Значит, этот слой газа получает еще импульс, направленный по оси X, то есть равный F_xt. Откуда он берется?

Этот импульс возникает из-за хаотичности движения молекул. Действительно, вследствие этой хаотичности, число молекул, влетающих в наш слой газа через его границу слева, равно числу молекул, вылетающих из него справа.

Легко доказать, что как влетающая в слой газа молекула, так и вылетающая из него сообщают ему импульс, направленный по оси X, то есть положительного знака. В самом деле, если молекула массой m влетает в слой слева направо, то проекция ее скорости положительна. Обозначим ее через υ_x. Проекция импульса mυ_x тоже положительна. Проекция импульса такой же молекулы, вылетающей из слоя, отрицательна и равна —mυ_x. Значит, влетающая молекула прибавляет слою газа импульс mυ_x, а вылетающая из него — отнимает от него отрицательный импульс —mυ_x. Но отнять отрицательное — это то же, что прибавить положительное.

Так мы убедились, что как влетающие в слой газа молекулы, так и вылетающие из него сообщают ему импульс, проекция которого равна mυ_x.

Предположив для простоты, что значения mυ_x одинаковы для всех молекул, легко вычислить изменение импульса ΔP всего слоя газа за время t. Оно, очевидно, равно удвоенному произведению mυ_x на число z молекул, влетающих в слой газа за время t:

\(~\Delta P = 2 z m \upsilon_x\) .

Значение z вычисляется так же, как число соударений молекул со стенкой (см. «Физику 9»):

\(~z = \frac 12 nS \upsilon_x t\) ,

где n — число молекул в единице объема газа. Следовательно,

\(~\Delta P = 2 \cdot \frac 12 nS \upsilon_x t \cdot m \upsilon_x = nSm \upsilon^2_x t\) .

Вот мы и нашли, откуда берется у нашего слоя импульс, направленный по оси X и равный F_xt. Значит,

\(~F_x t = nSm \upsilon^2_x t\) .

Сократив на t и разделив обе части этого равенства на S, получаем выражение для давления газа на правую стенку сосуда:

\(~p = \frac{F_x}{S} = nm \upsilon^2_x\) . (1)

Повторив наши рассуждения для стенок, перпендикулярных осям Y и Z, получим

\(~p = \frac{F_x}{S} = nm \upsilon^2_y\) . (2) \(~p = \frac{F_x}{S} = nm \upsilon^2_z\) . (3)

Давления р на все стенки, конечно, одинаковы. Сложив почленно равенства (1), (2) и (3), получаем

\(~3p = nm (\upsilon^2_x + \upsilon^2_y + \upsilon^2_z)\), или \(~p = \frac 13 nm (\upsilon^2_x + \upsilon^2_y + \upsilon^2_z)\) . (4)

В действительности, значения υ_x, υ_y и υ_z у разных молекул разные (вследствие хаотичности их движения). Поэтому в правой части равенства (4) надо вместо υ²_x, υ²_y и υ²_z подставить их средние значения \(~\overline{\upsilon^2_x}\), \(~\overline{\upsilon^2_y}\) и \(~\overline{\upsilon^2_z}\). Сумма \(~\overline{\upsilon^2_x} + \overline{\upsilon^2_y} + \overline{\upsilon^2_z}\) равна \(~\overline{\upsilon^2}\), тогда окончательно

\(~p = \frac 13 nm \overline{\upsilon^2} = \frac 23 n \frac{m \overline{\upsilon^2}}{2}\) ,