КС. Магнитное поле

Вектор магнитной индукции

Направление вектора

За направление вектора магнитной индукции принято следующие направления:

• для магнитной стрелки (свободно вращающейся в магнитном поле) – от южного (S) полюса стрелки к северному (N) (рис. 1 а);
• для плоского магнита: вдоль магнита – от южного (S) полюса магнита к северному (N) (рис. 1 б), по бокам магнита – от северного (N) полюса магнита к южному (S) (рис. 1 в – пунктиром показаны линии индукции);
• между полюсами магнитов (подковообразного магнита) – от северного (N) полюса магнита к южному (S) (рис. 1 г).

• 

  а
• 

  б
• 

  в
• 

  г

Рис. 1

В данной теме для изображения векторов, перпендикулярных плоскости рисунка применяют условные обозначения: крестики и точки.

Например:

а) по проводнику течет ток (рис. 2 а);

б) в данной области существует однородное магнитное поле с индукцией \(~\vec B\) (рис. 2 б).

• 

  а
• 

  б

Рис. 2

Тогда в плоскости γ направление векторов будем изображать так, как на рисунках 3 а (окружности на данном рисунке – это сечения проводника) и 3 б.

• 

  а
• 

  б

Рис. 3

Для ориентации в трехмерном пространстве будем использовать следующие названия направлений (рис. 4 а и б): OC – «вправо»; OB – «вниз»; OD – «влево»; OA – «вверх»; OE – «к нам»; OF – «от нас». Плоскость γ лежит в плоскости листа.

• 

  а
• 

  б

Рис. 4

Для определения направления вектора магнитной индукции проводника с током применяют правило буравчика или правило правой руки:

а) для прямого проводника с током правило правой руки имеет следующий вид: большой палец правой руки, отставленный на 90°, направляем по току, тогда четыре согнутых пальца, обхватывающие проводник, укажут направление вектора магнитной индукции (рис. 5 а).

б) для витка (катушки) с током правило правой руки имеет следующий вид: четыре согнутых пальца правой руки, обхватывающей виток (катушку), направляем по току, тогда большой палец, отставленный на 90°, укажет направление вектора магнитной индукции в центре витка (рис. 5 б).

• 

  а
• 

  б

Рис. 5

Значения вектора

\(~B_{pr} = \frac{\mu_0 \cdot I}{2 \pi \cdot l}\) ,

где B_pr – индукция магнитного поля бесконечного прямолинейного проводника с током на расстоянии l (Тл); μ₀ – магнитная постоянная, равная 4π·10^-7 Тл·м/А ; I – сила тока в проводнике (А); l – расстояние от проводника до данной точки (м).

В данной теме считаем, что проводник расположен в вакууме.

\(~B_{kr} = \frac{\mu_0 \cdot I}{2 r}\) ,

где B_kr – индукция магнитного поля в центре кругового тока (кольца) (Тл); μ₀ – магнитная постоянная, равная 4π·10^-7 Тл·м/А ; I – сила тока (А); r – радиус кольца с током (м).

\(~B_c = \frac{\mu_0 \cdot I \cdot N}{l}\) ,

где B_c – индукция магнитного поля внутри (середине) цилиндрической катушки (соленоида) (Тл); μ₀ – магнитная постоянная, равная 4π·10^-7 Тл·м/А ; N – число витков катушки; I – сила тока (А); l – длина катушки (м).

Магнитные свойства вещества

\(~\mu = \frac{B}{B_0}\) ,

где μ – магнитная проницаемость, табличная величина; B – магнитная индукция в веществе (Тл); B₀ – магнитная индукция внешнего (намагничивающего) поля (Тл).

Тогда с учетом магнитной проницаемости среды

• индукция магнитного поля бесконечного прямолинейного проводника с током на расстоянии l

  \(~B_{pr} = \frac{\mu \cdot \mu_0 \cdot I}{2 \pi \cdot l}\) ;

• индукция магнитного поля в центре кругового тока (кольца)

  \(~B_{kr} = \frac{\mu \cdot \mu_0 \cdot I}{2 r}\) ;

• индукция магнитного поля внутри (середине) цилиндрической катушки (соленоида)

  \(~B_c = \frac{\mu \cdot \mu_0 \cdot I \cdot N}{l}\) .

Сила Ампера

Для определения направления силы Ампера применяют правило левой руки: если ладонь левой руки расположить так, чтобы перпендикулярная составляющая к проводнику вектора индукции (\(~\vec B\)) входила в ладонь, а четыре вытянутых пальца указывали бы направление тока (I), то отогнутый на 90° большой палец укажет направление силы Ампера (\(~\vec F_A\)) (рис. 6).

Рис. 6

\(~F_A = I \cdot B \cdot l \cdot \sin \alpha\) ,

где F_A – сила Ампера (Н); В – модуль вектора магнитной индукции (Тл); I – сила тока (А); l – длина проводника (м); α – угол между проводником (направлением тока в проводнике) и направлением вектора магнитной индукции.

Вращающий момент сил

\(~B = \frac{M_{max}}{I \cdot S}\) ,

где В – модуль вектора магнитной индукции (Тл); M_max – максимальный вращающий момент сил, действующий на рамку с током, находящуюся в магнитном поле (Н·м); I – сила тока в рамке (А); S – площадь рамки (м²).

Поместим в однородном магнитном поле с индукцией (\(~\vec B\)) прямоугольную рамку с током ABCD (рис. 7 а – вид сбоку; рис. 7 б – вид сверху), где AB = a, AD = b, β – угол между перпендикуляром к рамке и вектором магнитной индукции.

а

б

Рис. 7

На участки AD и BC магнитное поле действуют с силами, которые меняются от нуля до максимального значения (в зависимости от угла поворота рамки β) и стремятся растянуть рамку (на рис. 8 а эти силы не указаны). На участки AB и CD магнитное поле действуют с постоянными силами \(~\vec F_1\) и \(~\vec F_2\) , которые направлены в противоположные стороны (на рис. 7 а силы направлены перпендикулярно плоскости рисунка) и стремятся повернуть рамку вокруг оси OO´. Таким образом, эти силы \(~\vec F_1\) и \(~\vec F_2\) создают вращающий момент M = F₁·l₁ + F₂·l₂, где F₁ = F₂ = I·B·l (угол α = 90°), l₁ = l₂ = AD/2 ·sin β = b/2 ·sin β, l = AB = CD = a. Тогда

\(~M = 2 F_1 \cdot l_1 = 2 I \cdot B \cdot a \cdot \frac{b}{2} \cdot \sin \beta = I \cdot B \cdot a \cdot b \cdot \sin \beta = I \cdot B \cdot S \cdot \sin \beta\) ,

где S = a·b – площадь рамки.

Момент сил будет максимальным при β = 90° (рамка расположена вдоль линий индукции)

\(~M_{max} = I \cdot B \cdot S\) .

Примечание. Эта формула верна для плоской рамки произвольной формы.

Сила Лоренца

Для определения направления силы Лоренца применяют правило левой руки: если левую руку расположить так, чтобы перпендикулярная составляющая к скорости частицы (\(~\vec \upsilon\)) магнитной индукции (\(~\vec B\)) входила в ладонь, а четыре вытянутых пальца указывали бы направления движения положительно заряженной частицы, то отогнутый на 90° большой палец укажет направление силы Лоренца (\(~\vec F_L\)) , действующей со стороны магнитного поля на частицу (рис. 8 а). Для отрицательной частицы четыре вытянутых пальца направляют против движения частицы (рис. 8 б).

• 

  а
• 

  б

Рис. 8 \(~F_L = q \cdot B \cdot \upsilon \cdot \sin \alpha\) ,

где F_L – сила Лоренца (Н); q – модуль заряда движущейся частицы (Кл); υ – скорость частицы (м/с); В – модуль вектора магнитной индукции (Тл); α – угол между скоростью движения положительного заряда и вектором магнитной индукции.

Движение заряженной частицы в магнитном поле

1. Если скорость υ заряженной частицы массой m направлена вдоль вектора магнитной индукции поля, то частица будет двигаться по прямой с постоянной скоростью (сила Лоренца F_L = 0, т.к. α = 0°) (рис. 9 а).
2. Если скорость υ заряженной частицы массой m перпендикулярна вектору магнитной индукции поля, то частица будет двигаться по окружности радиуса R, плоскость которой перпендикулярна линиям магнитной индукции (рис. 9 б). Тогда 2-ой закон Ньютона можно записать в следующем виде:

   \(~m \cdot a_c = F_L\) ,

   где \(~a_c = \frac{\upsilon^2}{R}\) , \(~F_L = q \cdot B \cdot \upsilon \cdot \sin \alpha\) , α = 90°, т.к. скорость частицы перпендикулярна вектору магнитной индукции.

   Тогда \(~\frac{m \cdot \upsilon^2}{R} = q \cdot B \cdot \upsilon\) .

• 

  а
• 

  б

Рис. 9

3. Если скорость υ заряженной частицы массой m направлена под углом α (0 < α < 90°) к вектору магнитной индукции поля, то частица будет двигаться по спирали радиуса R и шагом h (рис. 10 а, в).

Для описания движения частицы можно использовать следующий способ: разложить скорость υ заряженной частицы на две составляющие υ_⊥ = υ·sin α – перпендикулярную (к линии индукции) и υ_|| = υ·cos α – параллельную (к линии индукции) (рис. 10 б). Перпендикулярная составляющая скорости υ_⊥ вызывает движение частицы по окружности радиуса R, плоскость которой перпендикулярна линиям магнитной индукции, а параллельная υ_|| – равномерное движение вдоль линии индукции (рис. 10 в).

• 

  а
• 

  б
• 

  в

Рис. 10

Для описания движения по окружности, перпендикулярно линиям магнитной индукции, используем уравнение \(~\frac{m \cdot \upsilon_{\perp}^2}{R} = q \cdot B \cdot \upsilon_{\perp}\) или \(~\frac{m \cdot \upsilon_{\perp}}{R} = q \cdot B\) , т.к. \(~m \cdot a_c = F_L\) , где \(~F_L = q \cdot B \cdot \upsilon_{\perp}\) , \(~a_c = \frac{\upsilon_{\perp}^2}{R}\) .

Для описания движения вдоль линий магнитной индукции, используем уравнение h = υ_||·T , где h – это шаг винтовой линии (спирали), Т – время, за которое частица совершит полный оборот (период).