Просмотр исходного текста страницы А. Математический маятник

У вас нет прав на редактирование этой страницы по следующей причине:

---

Вы можете просмотреть и скопировать исходный текст этой страницы.

==Математический маятник. Период колебаний математического маятника== ''Математическим маятником'' называют материальную точку, подвешенную на невесомой и нерастяжимой нити, прикрепленной к подвесу и находящейся в поле силы тяжести (или иной силы). Исследуем колебания математического маятника в инерциальной системе отсчета, относительно которой точка его подвеса находится в покое или движется равномерно прямолинейно. Силой сопротивления воздуха будем пренебрегать (идеальный математический маятник). Первоначально маятник покоится в положении равновесия С. При этом действующие на него сила тяжести <math>\vec F</math> и сила упругости <math>\vec F_{ynp}</math> нити взаимно компенсируются. Выведем маятник из положения равновесия (отклонив его, например, в положение А) и отпустим без начальной скорости (рис. 13.11). В этом случае силы <math>\vec F</math> и <math>\vec F_{ynp}</math> не уравновешивают друг друга. Тангенциальная составляющая силы тяжести <math>\vec F_\tau</math>, действуя на маятник, сообщает ему тангенциальное ускорение <math>\vec a_\tau</math> (составляющая полного ускорения, направленная вдоль касательной к траектории движения математического маятника), и маятник начинает двигаться к положению равновесия с возрастающей по модулю скоростью. Тангенциальная составляющая силы тяжести <math>\vec F_\tau</math> является, таким образом, возвращающей силой. Нормальная составляющая <math>\vec F_n</math> силы тяжести направлена вдоль нити против силы упругости <math>\vec F_{ynp}</math>. Равнодействующая сил <math>\vec F_n</math> и <math>\vec F_{ynp}</math> сообщает маятнику нормальное ускорение <math>~a_n</math>, которое изменяет при этом направление вектора скорости, и маятник движется по дуге ''ABCD.'' [[Изображение:aksen-13.11.jpg|330px|center|thumb|<center> Рис. 13.11 </center>]] Чем ближе подходит маятник к положению равновесия С, тем меньше становится значение тангенциальной составляющей <math>~F_\tau = F \sin \alpha</math>. В положении равновесия она равна нулю, а скорость достигает максимального значения, и маятник движется по инерции дальше, поднимаясь по дуге вверх. При этом составляющая <math>\vec F_\tau</math> направлена против скорости. С увеличением угла отклонения а модуль силы <math>\vec F_\tau</math> увеличивается, а модуль скорости уменьшается, и в точке D скорость маятника становится равной нулю. Маятник на мгновение останавливается, а затем начинает двигаться в обратном направлении к положению равновесия. Вновь пройдя его по инерции, маятник, замедляя движение, дойдет до точки А (трение отсутствует), т.е. совершит полное колебание. После этого движение маятника будет повторяться в уже описанной последовательности. Получим уравнение, описывающее свободные колебания математического маятника. Пусть маятник в данный момент времени находится в точке В. Его смещение S от положения равновесия в этот момент равно длине дуги СВ (т.е. S = |СВ|). Обозначим длину нити подвеса ''l'', а массу маятника — ''m''. Из рисунка 13.11 видно, что <math>~F_\tau = F \sin \alpha</math>, где <math>\alpha =\frac{S}{l}.</math> При малых углах <math>~(\alpha <10^\circ)</math> отклонения маятника <math>\sin \alpha \approx \alpha,</math> поэтому <center><math>F_\tau = -F\frac{S}{l} = -mg\frac{S}{l}.</math></center> Знак минус в этой формуле ставят потому, что тангенциальная составляющая силы тяжести направлена к положению равновесия, а смещение отсчитывают от положения равновесия. Согласно второму закону Ньютона <math>m \vec a = m \vec g + F_{ynp}.</math> Спроецируем векторные величины этого уравнения на направление касательной к траектории движения математического маятника <center><math>~F_\tau = ma_\tau .</math></center> Из этих уравнений получим <math>a_\tau = -\frac{g}{l}S</math> — динамическое уравнение движения математического маятника. Тангенциальное ускорение математического маятника пропорционально его смещению и направлено к положению равновесия. Это уравнение можно записать в виде: <math>a_\tau+\frac{g}{l}S = 0</math>. Сравнивая его с уравнением гармонических колебаний <math>~a_x + \omega^2x = 0</math> (см. § 13.3), можно сделать вывод, что математический маятник совершает гармонические колебания. А так как рассмотренные колебания маятника происходили под действием только внутренних сил, то это были свободные колебания маятника. Следовательно, ''свободные колебания математического маятника при малых отклонениях являются гармоническими.'' Обозначим <math>\frac{g}{l} = \omega^2.</math> Откуда <math>\omega = \sqrt \frac{g}{l}</math> — циклическая частота колебаний маятника. Период колебаний маятника <math>T = \frac{2 \pi}{\omega}.</math> Следовательно, <center><math>T = 2 \pi \sqrt{ \frac{l}{g} }</math></center> Это выражение называют ''формулой Гюйгенса.'' Оно определяет период свободных колебаний математического маятника. Из формулы следует, что при малых углах отклонения от положения равновесия период колебаний математического маятника: 1) не зависит от его массы и амплитуды колебаний; 2) пропорционален корню квадратному из длины маятника и обратно пропорционален корню квадратному из ускорения свободного падения. Это согласуется с экспериментальными законами малых колебаний математического маятника, которые были открыты Г. Галилеем. Подчеркнем, что эту формулу можно использовать для расчета периода при одновременном выполнении двух условий: 1) колебания маятника должны быть малыми; 2) точка подвеса маятника должна покоиться или двигаться равномерно прямолинейно относительно инерциальной системы отсчета, в которой он находится. Если точка подвеса математического маятника движется с ускорением <math>\vec a</math> то при этом изменяется сила натяжения нити, что приводит к изменению и возвращающей силы, а следовательно, частоты и периода колебаний. Как показывают расчеты, период колебаний маятника в этом случае можно рассчитать по формуле <center><math>T = 2 \pi \sqrt{ \frac{l}{g'} }</math></center> где <math>~g'</math> — "эффективное" ускорение маятника в неинерциальной системе отсчета. Оно равно геометрической сумме ускорения свободного падения <math>\vec g</math> и вектора, противоположного вектору <math>\vec a</math>, т.е. его можно рассчитать по формуле <center><math>\vec g' = \vec g + (- \vec a).</math></center> ==Литература== Аксенович Л. А. Физика в средней школе: Теория. Задания. Тесты: Учеб. пособие для учреждений, обеспечивающих получение общ. сред, образования / Л. А. Аксенович, Н.Н.Ракина, К. С. Фарино; Под ред. К. С. Фарино. — Мн.: Адукацыя i выхаванне, 2004. — С. 374-376. [[Категория: Механические колебания]] [[Category:Аксенович Л.А. Физика]]

Возврат к странице А. Математический маятник.