Слободянюк А.И. Физика 10/7.2

Содержание книги

Предыдующая страница

§7. Механика жидкости и газа

7.2 Кинематическое описание движения жидкости и газа – «гидрокинематика». Поле скоростей.

При кинематическом описании движения любой механической системы нет необходимости подробно рассматривать внутренние физические свойства тел, включенных в систему. При описании движения жидкости достаточно принять во внимание ее текучесть – способность изменять свою форму при малейшем внешнем воздействии. Свойства жидкостей и газов существенно различаются, однако описание движения жидкостей и газов сходно, поэтому в данном разделе, говоря об описании движения жидкости, будем иметь виду, что описание движения газов проводится аналогично.

Если нас интересует движение жидкости целиком, а не конкретно какой-либо молекулы, мы можем говорить о скорости жидкости в данной точке, в данный момент времени. Иными словами, будем следить не за отдельной частицей жидкости (ее скоростью, траекторией и другими характеристиками), а за скоростью жидкости в данной пространственной точке, не обращая внимания, что в другой момент времени в рассматриваемой точке будет находиться другая частица жидкости. Таким образом, основной характеристикой движения будем считать пространственное распределение скоростей жидкости, которое задается векторной функцией \(~\vec V (t,x,y,z)\) - функцией, задающей вектор скорости жидкости, в любой точке, в любой момент времени. Конечно, математически такая конструкция очень сложна: вспомните, обычная функция f(x) каждому числу (аргументу x) ставит в соответствие другое число (значение функции). В нашем же случае четырем числам (трем координатам и времени) ставится в соответствие три числа (компоненты вектора). В математике такое соответствие является обобщением понятия функции и называется векторным полем. Поэтому введенная функция \(~\vec V (t,x,y,z)\) часто называется полем скоростей. В частом случае распределение скоростей может сохраняться в течение некоторого промежутка времени, тогда функция \(~\vec V (t,x,y,z) = \vec V (x,y,z)\) не зависит от времени, такое поле скоростей называется стационарным. Если же скорости движения жидкости одинаковы во всех точках, то поле скоростей называется однородным. Подчеркнем, стационарное – значит, в рассматриваемом временном промежутке скорости остаются постоянными (но могут быть различными в разных точках); однородное – значит, в рассматриваемом объеме скорости одинаковы во всех пространственных точках (но могут изменяться с течением времени).

На первый взгляд, мы изменили сформулированную ранее основную задачу механики – определить закон движения. Однако, в задачах движения жидкости, как правило, бывают важны другие характеристики: расход жидкости, распределение давлений, силы сопротивления, подъемная сила крыла и т.д. Все эти и многие другие характеристики могут быть рассчитаны, если известно распределение скоростей жидкости. Фактически мы признаем, что сплошная среда обладает бесконечно большим числом степеней свободы. Так одна материальная точка обладает тремя степенями свободы, при непрерывном описании каждая геометрическая точка рассматривается в некотором смысле как материальная. В частности, мы определяем вектор скорости (его три компоненты) в каждой точке, число которых, очевидно, бесконечно. При дискретном описании мы должны задать скорости \(~\vec V_i (i=1,2,3 \ldots)\) для каждой частицы (условно говоря, вектор скорости, как функцию номера частицы), вместо этого мы определяем скорость как функцию трех непрерывных координат \(~\vec V (x,y,z)\) .

Наглядно представить себе векторное поле достаточно затруднительно – в каждой точке необходимо изобразить вектор, что конечно невозможно. Поэтому используются несколько упрощенных способов графического представления векторных полей. Наиболее часто встречается изображение векторных с помощью линий поля – линии, касательные к которым совпадают с вектором поля (рис. 102).

В рассматриваемом случае поля скоростей – линия поля называются линиями тока. Линия тока – такая линия, касательная к которой в каждой точке совпадает с направлением вектора скорости в данной точке. На линиях тока принято указывать направление движения жидкости. Заметим, что линию тока можно провести через любую точку, поэтому число линий, их густота определяются исключительно эстетическими соображениями.

Семейство линий тока достаточно наглядно представляет движение жидкости в некоторой области (рис. 103). Исходя из определения, можно установить их общие свойства:

1. Линии тока не пересекаются (в противном случае, в точке пересечения можно построить две касательных, то есть в одной точке, скорость жидкости имеет два значения, что абсурдно).
2. Линии тока не имеют изломов (в точке излома опять можно построить две касательных).
3. Линии тока начинаются на источниках и заканчиваются на точках стока жидкости.

Если движение жидкости является стационарным, то линии тока совпадают с траекториями движения частиц жидкости. В нестационарном потоке, линии тока изменяются с течением времени, поэтому траектория отдельно взятой частицы отличается от линии тока. В этом случае линии тока следует рассматривать как вспомогательные математические иллюстрации, не имеющие явного физического смысла.

Задания для самостоятельной работы.

1. Постройте семейство линий тока однородного поля скоростей.
2. Нарисуйте семейство линий тока, исходящих во все стороны от небольшого источника.

Примечания

Следующая страница