Слободянюк А.И. Физика 10/17.7

Содержание книги

Предыдующая страница

§17. Механические колебания

17.7 Автоколебательные системы. Автоколебания.

В некоторых «саморегулирующихся» системах незатухающие колебания могут поддерживаться постоянной внешней силой. Такие системы называются автоколебательными, а их поведение называется автоколебаниями.

По-видимому, простейшая автоколебательная система показана на рис. 235. В бак через трубу А с постоянной скоростью наливается вода, при этом уровень воды в баке h возрастает со временем по линейному закону (рис.235в). Через дно бака пропущена изогнутая труба (сифон) С, второе колено которого немного не доходит до дна бака. Когда уровень воды в баке (и в изогнутом колене) достигает верхней точки сифона, вода через изогнутую трубку выливается из бака. Таким образом, уровень воды в баке изменяется по периодическому закону, который, естественно, отличается от гармоническому. Период колебаний уровня воды в баке зависит как от внешних условий (скорости наливания воды), так и от параметров самой колебательной системы, размеров бака, диаметра трубки сифона, ее высоты. Важно подчеркнуть, что в данной системе существует механизм, автоматически регулирующий изменение уровня воды – когда уровень воды достигает высшей точки – бак автоматически опустошается. Поэтому данная система является автоколебательной.

Такой же принцип работы заложен в генератор электрических колебаний, показанный на рис. 236.

Регулирующим элементом в этой системе является неоновая лампочка – диод D. Если на напряжение на лампе меньше некоторого напряжения U₁ (которое называется напряжением зажигания), то газ в лампе является практически идеальным изолятором, в этом случае электрический ток через лампочку не проходит. При достижении напряжения зажигания в газе возникает электрический разряд, при этом газ ионизируется и становится хорошим проводником, при этом электрическое сопротивление лампы падает практически до нуля.

Принцип работы показанного генератора следующий: конденсатор С подключен через резистор R₀ к источнику постоянной ЭДС, значение которой превышает напряжение зажигания неоновой лампочки. Изначально незаряженный конденсатор заряжается, напряжение на нем возрастает, напряжение на лампочке равно напряжению на конденсаторе, так как ток через нее не идет. Когда это напряжение достигает значения напряжения зажигания, вспыхивает электрический разряд, лампа «открывается» и конденсатор разряжается через резистор R₁ и лампочку, напряжение на нем резко падает до напряжения U₀, при котором газовый разряд прекращается. После этого процесс повторяется сколько угодно раз (пока не разрядится батарейка). Таким образом, напряжение на конденсаторе, а так же ток через лампочку изменяются по периодическому (но не гармоническому) закону. В этой колебательной системе период колебаний зависит от ЭДС источника, сопротивлений резисторов, емкости конденсатора. Наличие внутреннего механизма, регулирующего характер протекающих процессов, делает эту систему автоколебательной.

Хорошо известно, что для большинства трущихся поверхностей коэффициент трения покоя превышает коэффициент трения скольжения. Увеличение силы трения покоя по сравнению с силой терния скольжения носит название «явление застоя». Это явление приводит к ряду интересных последствий, например, его наличием объясняется скрип дверных петель, звучание струны скрипки и др. Механизм возбуждения колебаний в этих случаях также является автоколебательным.

Рассмотрим его на примере следующей системы (Рис. 237). На движущуюся с постоянной скоростью υ₀ горизонтальную ленту транспортера помещен брусок, прикрепленный с помощью легко растяжимой пружины к неподвижному упору.

Будем рассматривать движение бруска в системе отсчета, связанной с неподвижным упором (Рис. 238). Пусть в некоторый момент времени брусок покоится относительно ленты (т.е. движется со скоростью ленты в выбранной системе отсчета). В это время сила трения, действующая на брусок, является силой трения покоя, поэтому она максимальна (обозначим коэффициент трения покоя бруска о ленту μ₀). Такое движение бруска возможно пока увеличивающаяся сила упругости пружинки не превысит силу трения покоя. (Обозначим координату этой точки x₁). После ее прохождения брусок начнет скользить относительно ленты, поэтому сила трения скачком уменьшится до силы трения скольжения (коэффициент трения скольжения бруска о ленту μ, причем μ < μ₀). Однако еще некоторое время брусок будет продолжать двигаться в прежнем направлении по инерции (т.к. он имел скорость, равную скорости ленты). Сместившись на максимальное расстояние x_max, когда его скорость станет равной нулю, он начнет двигаться в обратном направлении с ускорением, определяемым силами трения и упругости, до некоторого положения x_min. Затем направление его движения опять изменится, его скорость начнет возрастать до тех пор, пока не станет равной скорости ленты (точку, в которой это произойдет, обозначим x₂), после чего процесс повторится - брусок станет двигаться до точки x₁ со скоростью ленты и т.д.

В точке начала скольжения x₁ сила упругости достигает максимальной силы трения покоя. На участке x₁ → x_max → x_min → x₂ брусок движется под действием силы упругости и постоянной силы трения скольжения, поэтому описывается гармонической функцией с частотой, равной собственной частоте колебаний бруска на пружине. В точке остановки относительно ленты x₂ скорость бруска становится равной скорости ленты. Эти рассуждения позволяют качественно построить график закона движения бруска (Рис. 239).

Количественное описание колебаний бруска не слишком сложно. На основании второго закона Ньютона запишем уравнение движение бруска на интервале его скольжения по ленте

\(~ma = -kx + \mu mg\) (1)

и перепишем его в виде

\(~a = -\frac{k}{m} \left(x + \frac{\mu mg}{k} \right)\) . (2)

Из этого уравнения следует, что брусок движется по гармоническому закону симметрично относительно точки

\(~x_0 = \frac{\mu mg}{k}\) (3)

с частотой

\(~\omega_0 = \sqrt{\frac{k}{m}}\) . (4)

Для определения амплитуды колебаний, а также времен «переключения» режимов движения удобно совместить начало отсчета времени t = 0 с моментом, когда брусок пересекает среднюю точку x₀ (см. рис. 239). При таком определении закон движения бруска (во время его скольжения по ленте) будет иметь вид

\(~x = x_0 - A \sin \omega_0 t\) . (5)

Для определения амплитуды колебания A и времен переключения «режимов» движения следует заметить, что в точке начала проскальзывания скорость бруска x₁ его скорость равна скорости ленты. Координату этой точки можно найти из условия равенства силы упругости и максимальной силы трения покоя \(kx_1 = \mu_0 mg\) , из которого следует, что

\(~x_1 = \frac{\mu_0 mg}{k}\) . (6)

Считая, что начало скольжения произошло в момент времени t = −τ, на основании закона движения (5) можно записать

\(~\begin{matrix} x_1 = x_0 - A \sin (-\omega_0 \tau) \\ \upsilon_0 = A \omega_0 \cos (-\omega_0 \tau) \end{matrix}\) . (7)

Из этой системы можно определить амплитуду колебаний

\(~A = \sqrt{(x_1 - x_0)^2 + \left(\frac{\upsilon_0}{\omega_0} \right)^2} = \sqrt{\left(\frac{(\mu_0 - \mu) mg}{k} \right)^2 + \left(\frac{\upsilon_0}{\omega_0} \right)^2}\) , (8)

время скольжения по ленте

\(~\tau = \frac{1}{\omega_0} \operatorname{arctg} \frac{x_1 - x_0}{\upsilon_0} \omega_0\) . (9)

Время движения бруска вместе с лентой можно определить, учитывая, что за это время брусок проходит расстояние от x₂ до x₁ (которое равно \(x_1 - x_2 = 2(x_1 - x_0)\) со скоростью υ₀:

\(~\tau_2 - \tau = \frac{2(x_1 - x_0)}{\upsilon_0}\) . (10)

Окончательно получим, что полный период колебаний рассчитывается по формуле

\(~T = 2 \tau + (\tau_2 - \tau) = \frac{2}{\omega_0} \operatorname{arctg} \frac{x_1 - x_0}{\upsilon_0} \omega_0 + \frac{2(x_1 - x_0)}{\upsilon_0}\) . (11)

Таким образом, и в данной системе существует внутренний механизм, обеспечивающий переключение режимов движения бруска: резкое скачкообразное изменение силы трения при начале скольжения и в момент равенства скорости скольжения бруска и скорости ленты. В заключение подчеркнем, что положительная работа силы трения покоя компенсирует потери энергии из-за трения скольжения.

Колебания скрипичной струны описываются аналогичным образом – равномерно движущийся смычок играет роль «движущейся ленты транспортера», а сама струна совмещает в себе функции бруска (ее масса) и пружины (ее упругость).

Еще одним широко известным примером механической автоколебательной системы является механизм маятниковых часов-ходиков. В этом устройстве колебания маятника поддерживается периодическим подталкиванием с помощью зубцов храпового колеса, соединенного с висящей гирей. Принцип работы этого механизма типичен для автоколебательных систем – работа постоянной внешней силы (силы тяжести, действующей на гирю) периодически компенсирует потери механической энергии маятника.

Примечания

Следующая страница