Сложение векторов

Материал из PhysBook
Перейти к: навигация, поиск

Скаляры можно складывать, умножать и делить так же, как обычные числа.

Поскольку вектор характеризуется не только числовым значение, но и направлением, сложение векторов не подчиняется правилам сложения чисел. Например, пусть длины векторов a = 3 м, b = 4 м, тогда a + b = 3 м + 4 м = 7 м. Но длина вектора \(\vec c = \vec a + \vec b\) не будет равна 7 м (рис. 1).

Image009.jpg
Рис. 1.

Для того, чтобы построить вектор \(\vec c = \vec a + \vec b\) (рис. 2), применяются специальные правила сложения векторов.

Image001.jpg
Рис. 2.

А длину вектора суммы \(\vec c = \vec a + \vec b\) определяют по теореме косинусов \(c = \sqrt{a^2+b^2-2a\cdot b\cdot \cos \alpha}\), где \(\alpha\,\) – угол между векторами \(\vec a\) и \(\vec b\).

Правило треугольника

В зарубежной литературе этот метод называют «хвост к голове».

Для того чтобы сложить два вектора \(\vec a\) и \(\vec b\) (рис. 3, а) нужно переместить вектор \(\vec b\) параллельно самому себе так, чтобы его начало совпадало с концом вектора \(\vec a\) (рис. 3, б). Тогда их суммой будет вектор \(\vec c\), начало которого совпадает с началом вектора \(\vec a\), а конец — с концом вектора \(\vec b\) (рис. 3, в).

Image010.jpg   Image011.jpg   Image012.jpg
а                                         б                                                    в      
Рис. 3.

Результат не поменяется, если перемещать вместо вектора \(\vec b\) вектор \(\vec a\) (рис. 4), т.е. \(\vec b + \vec a = \vec a + \vec b\) (свойство коммутативности векторов).

Image013.jpg   Image014.jpg   Image015.jpg
а                                         б                                                    в      
Рис. 4.

"Правило треугольников" Пример 1
Увеличить Flash
"Правило треугольников" Пример 2
Увеличить Flash
Рис. 5.

При помощи правила треугольника можно сложить два параллельных вектора \(\vec a\) и \(\vec b\) (рис. 6, а) и \(\vec a\) и \(\vec d\) (рис. 7, а). Суммы этих векторов \(\vec c = \vec a + \vec b\) и \(\vec f = \vec a + \vec d\) изображены на рис. 6, б и 7, б. Причем, модули векторов \(c = a + b\) и \(f=\left|a-d\right|\).

Image016.jpg   Image017.jpg
а                                         б
Рис. 6.
Image018.jpg   Image019.jpg
а                                         б
Рис. 7.

Правило треугольника можно применять при сложении трех и более векторов. Например, \(\vec c = \vec a_1 + \vec a_2 +\vec a_3 +\vec a_4\) (рис. 8).

Image020.jpg
Рис. 8.

Правило параллелограмма

Для того чтобы сложить два вектора \(\vec a\) и \(\vec b\) (рис. 9, а) нужно переместить их параллельно самим себе так, чтобы начала векторов \(\vec a\) и \(\vec b\) находились в одной точке (рис. 9, б). Затем построить параллелограмм, сторонами которого будут эти вектора (рис. 9, в). Тогда суммой \(\vec a+ \vec b\) будет вектор \(\vec c\), начало которого совпадает с общим началом векторов, а конец — с противоположной вершиной параллелограмма (рис. 9, г).

Image021.jpg  Image022.jpg
а                                         б
Image023.jpg  Image024.jpg
в                                         г
Рис. 9.
"Правило параллепипеда"
Увеличить Flash
Рис. 10.

Вычитание векторов

Для того чтобы найти разность двух векторов \(\vec a\) и \(\vec b\) (рис. 11) нужно найти вектор \(\vec c = \vec a + \left(-\vec b \right)\) (см. Умножение вектора на скаляр) по правилу треугольника (рис. 12) или по правилу параллелограмма (рис. 13).

Image030.jpg
Рис. 11
Image031.jpg  Image032.jpg   Image033.jpg
а                                       б                                       в
Рис. 12.
Image031.jpg  Image034.jpg
а                                            б    
Image035.jpg  Image036.jpg
б                                            в    
Рис. 13.
Персональные инструменты
Пространства имён

Варианты
Действия
Учебники
Журнал "Квант"
Разделы физики
Общие
Инструменты