Сложение векторов

Материал из PhysBook

Скаляры можно складывать, умножать и делить так же, как обычные числа.

Поскольку вектор характеризуется не только числовым значение, но и направлением, сложение векторов не подчиняется правилам сложения чисел. Например, пусть длины векторов a = 3 м, b = 4 м, тогда a + b = 3 м + 4 м = 7 м. Но длина вектора $\vec c = \vec a + \vec b$ не будет равна 7 м (рис. 1).

Рис. 1.

Для того, чтобы построить вектор $\vec c = \vec a + \vec b$ (рис. 2), применяются специальные правила сложения векторов.

Рис. 2.

А длину вектора суммы $\vec c = \vec a + \vec b$ определяют по теореме косинусов $c = \sqrt{a^2+b^2-2a\cdot b\cdot \cos \alpha}$ , где $\alpha\,$ – угол между векторами $\vec a$ и $\vec b$ .

Правило треугольника

В зарубежной литературе этот метод называют «хвост к голове».

Для того чтобы сложить два вектора $\vec a$ и $\vec b$ (рис. 3, а) нужно переместить вектор $\vec b$ параллельно самому себе так, чтобы его начало совпадало с концом вектора $\vec a$ (рис. 3, б). Тогда их суммой будет вектор $\vec c$ , начало которого совпадает с началом вектора $\vec a$ , а конец — с концом вектора $\vec b$ (рис. 3, в).

а б в Рис. 3.

Результат не поменяется, если перемещать вместо вектора $\vec b$ вектор $\vec a$ (рис. 4), т.е. $\vec b + \vec a = \vec a + \vec b$ (свойство коммутативности векторов).

а б в Рис. 4.

"Правило треугольников" Пример 1 Увеличить Flash

"Правило треугольников" Пример 2 Увеличить Flash Рис. 5.

При помощи правила треугольника можно сложить два параллельных вектора $\vec a$ и $\vec b$ (рис. 6, а) и $\vec a$ и $\vec d$ (рис. 7, а). Суммы этих векторов $\vec c = \vec a + \vec b$ и $\vec f = \vec a + \vec d$ изображены на рис. 6, б и 7, б. Причем, модули векторов $c = a + b$ и $f=\left|a-d\right|$ .

а б Рис. 6.

а б Рис. 7.

Правило треугольника можно применять при сложении трех и более векторов. Например, $\vec c = \vec a_1 + \vec a_2 +\vec a_3 +\vec a_4$ (рис. 8).

Рис. 8.

Правило параллелограмма

Для того чтобы сложить два вектора $\vec a$ и $\vec b$ (рис. 9, а) нужно переместить их параллельно самим себе так, чтобы начала векторов $\vec a$ и $\vec b$ находились в одной точке (рис. 9, б). Затем построить параллелограмм, сторонами которого будут эти вектора (рис. 9, в). Тогда суммой $\vec a+ \vec b$ будет вектор $\vec c$ , начало которого совпадает с общим началом векторов, а конец — с противоположной вершиной параллелограмма (рис. 9, г).

а б

в г Рис. 9.

"Правило параллепипеда" Увеличить Flash Рис. 10.

Вычитание векторов

Для того чтобы найти разность двух векторов $\vec a$ и $\vec b$ (рис. 11) нужно найти вектор $\vec c = \vec a + \left(-\vec b \right)$ (см. Умножение вектора на скаляр) по правилу треугольника (рис. 12) или по правилу параллелограмма (рис. 13).