Сложение векторов
Скаляры можно складывать, умножать и делить так же, как обычные числа.
Поскольку вектор характеризуется не только числовым значение, но и направлением, сложение векторов не подчиняется правилам сложения чисел. Например, пусть длины векторов a = 3 м, b = 4 м, тогда a + b = 3 м + 4 м = 7 м. Но длина вектора \(\vec c = \vec a + \vec b\) не будет равна 7 м (рис. 1).
![Image009.jpg](/images/e/e2/Image009.jpg)
Для того, чтобы построить вектор \(\vec c = \vec a + \vec b\) (рис. 2), применяются специальные правила сложения векторов.
![Image001.jpg](/images/f/fb/Image001.jpg)
А длину вектора суммы \(\vec c = \vec a + \vec b\) определяют по теореме косинусов \(c = \sqrt{a^2+b^2-2a\cdot b\cdot \cos \alpha}\), где \(\alpha\,\) – угол между векторами \(\vec a\) и \(\vec b\).
Правило треугольника
В зарубежной литературе этот метод называют «хвост к голове».
Для того чтобы сложить два вектора \(\vec a\) и \(\vec b\) (рис. 3, а) нужно переместить вектор \(\vec b\) параллельно самому себе так, чтобы его начало совпадало с концом вектора \(\vec a\) (рис. 3, б). Тогда их суммой будет вектор \(\vec c\), начало которого совпадает с началом вектора \(\vec a\), а конец — с концом вектора \(\vec b\) (рис. 3, в).
![Image010.jpg](/images/8/82/Image010.jpg)
![Image011.jpg](/images/7/75/Image011.jpg)
![Image012.jpg](/images/7/70/Image012.jpg)
Результат не поменяется, если перемещать вместо вектора \(\vec b\) вектор \(\vec a\) (рис. 4), т.е. \(\vec b + \vec a = \vec a + \vec b\) (свойство коммутативности векторов).
![Image013.jpg](/images/2/26/Image013.jpg)
![Image014.jpg](/images/0/07/Image014.jpg)
![Image015.jpg](/images/3/3d/Image015.jpg)
При помощи правила треугольника можно сложить два параллельных вектора \(\vec a\) и \(\vec b\) (рис. 6, а) и \(\vec a\) и \(\vec d\) (рис. 7, а). Суммы этих векторов \(\vec c = \vec a + \vec b\) и \(\vec f = \vec a + \vec d\) изображены на рис. 6, б и 7, б. Причем, модули векторов \(c = a + b\) и \(f=\left|a-d\right|\).
![Image016.jpg](/images/5/5c/Image016.jpg)
![Image017.jpg](/images/a/a1/Image017.jpg)
![Image018.jpg](/images/7/72/Image018.jpg)
![Image019.jpg](/images/6/69/Image019.jpg)
Правило треугольника можно применять при сложении трех и более векторов. Например, \(\vec c = \vec a_1 + \vec a_2 +\vec a_3 +\vec a_4\) (рис. 8).
![Image020.jpg](/images/7/77/Image020.jpg)
Правило параллелограмма
Для того чтобы сложить два вектора \(\vec a\) и \(\vec b\) (рис. 9, а) нужно переместить их параллельно самим себе так, чтобы начала векторов \(\vec a\) и \(\vec b\) находились в одной точке (рис. 9, б). Затем построить параллелограмм, сторонами которого будут эти вектора (рис. 9, в). Тогда суммой \(\vec a+ \vec b\) будет вектор \(\vec c\), начало которого совпадает с общим началом векторов, а конец — с противоположной вершиной параллелограмма (рис. 9, г).
![Image021.jpg](/images/8/81/Image021.jpg)
![Image022.jpg](/images/e/e0/Image022.jpg)
![Image023.jpg](/images/4/4e/Image023.jpg)
![Image024.jpg](/images/b/b3/Image024.jpg)
Вычитание векторов
Для того чтобы найти разность двух векторов \(\vec a\) и \(\vec b\) (рис. 11) нужно найти вектор \(\vec c = \vec a + \left(-\vec b \right)\) (см. Умножение вектора на скаляр) по правилу треугольника (рис. 12) или по правилу параллелограмма (рис. 13).
![Image030.jpg](/images/5/55/Image030.jpg)
![Image031.jpg](/images/6/6f/Image031.jpg)
![Image032.jpg](/images/b/b7/Image032.jpg)
![Image033.jpg](/images/4/42/Image033.jpg)
![Image031.jpg](/images/6/6f/Image031.jpg)
![Image034.jpg](/images/8/88/Image034.jpg)
![Image035.jpg](/images/8/83/Image035.jpg)
![Image036.jpg](/images/3/3f/Image036.jpg)
Смотреть HD
видео онлайн
бесплатно 2022 года