Решение. Графики. B2

Условие

B2. По графикам зависимости проекции скорости от времени (рис. 1) определите для каждого тела:

а) проекцию начальной скорости;

б) проекцию скорости через 2 с;

в) проекцию ускорения;

г) уравнение проекции скорости;

д) когда проекция скорости тел будет равна 6 м/с?

Рис. 1

Решение

а) Определите для каждого тела проекцию начальной скорости.

Графический способ. По графику находим значения проекций скоростей точек пересечения графиков с осью 0υ_x (на рис. 2 а эти точки выделены):

υ_01x = 0; υ_02x = 5 м/с; υ_03x = 5 м/с.

Рис. 2 а

б) Определите для каждого тела проекцию скорости через 2 с.

Графический способ. По графику находим значения проекций скоростей точек пересечения графиков с перпендикуляром, проведенным к оси 0t в точке t = 2 с (на рис. 2 б эти точки выделены):

υ_1x(2 с) = 6 м/с; υ_2x(2 с) = 5 м/с; υ_3x(2 с) = 3 м/с.

Рис. 2 б

Аналитический способ. Составьте уравнение проекции скорости и по нему определить значение скорости при t = 2 с (см. пункт г).

в) Определите для каждого тела проекцию ускорения.

Графический способ. Проекция ускорения \(~a_x = \tan \alpha = \frac{\Delta \upsilon}{\Delta t} = \frac{\upsilon_2 - \upsilon_1}{t_2-t_1}\) , где α – угол наклона графика к оси 0t; Δt = t₂ – t₁ – произвольный промежуток времени; Δυ = υ₂ – υ₁ – промежуток скоростей, соответствующий промежутку времени Δt = t₂ – t₁. Для увеличения точности расчетов значения ускорения выберем максимально возможный промежуток времени и, соответственно, максимально возможный промежуток скорости для каждого графика.

Для графика 1: пусть t₂ = 2 с, t₁ = 0, тогда υ₂ = 6 м/с, υ₁ = 0 и a_1x = (6 м/с - 0)/(2 с - 0) = 3 м/с² (рис. 3 а).

Рис. 3 а

Для графика 2: пусть t₂ = 6 с, t₁ = 0, тогда υ₂ = 5 м/с, υ₁ = 5 м/с и a_2x = (5 м/с - 5 м/с)/(6 с - 0) = 0 (рис. 3 б).

Рис. 3 б

Для графика 3: пусть t₂ = 5 с, t₁ = 0, тогда υ₂ = 0, υ₁ = 5 м/с и a_3x = (0 - 5 м/с)/(4 с - 0) = –1 м/с² (рис. 3 в).

Рис. 3 в

Аналитический способ. Запишем уравнение проекции скорости в общем виде υ_x = υ_0x + a_x·t. Используя значения проекции начальной скорости (см. пункт а) и проекции скорости при t = 2 с (см. пункт б), найдем значение проекции ускорения\[~a_x = \frac{\upsilon_x - \upsilon_{0x}}{t}\] .

г) Определите для каждого тела уравнение проекции скорости.

Уравнение проекции скорости в общем виде: υ_x = υ_0x + a_x·t . Для графика 1: т.к. υ_01x = 0, a_1x = 3 м/с², то υ_1x = 3·t. Проверим пункт б: υ_1x(2 с) = 3·2 = 6 (м/с), что соответствует ответу.

Для графика 2: т.к. υ_02x = 5 м/с, a_2x = 0, то υ_2x = 5. Проверим пункт б: υ_2x(2 с) = 5 (м/с), что соответствует ответу.

Для графика 3: т.к. υ_03x = 5 м/с, a_3x = –1 м/с², то υ_3x = 5 – 1·t = 5 – t. Проверим пункт б: υ_3x(2 с) = 5 – 1·2 = 3 (м/с), что соответствует ответу.

д) Определите, когда проекция скорости тел будет равна 6 м/с?

Графический способ. По графику находим значения времени точек пе-ресечения графиков с перпендикуляром, проведенном к оси 0υ_x в точке υ_x = 6 м/с (на рис. 4 эти точки выделены): t₁(6 м/с) = 2 с; t₃(6 м/с) = –1 с.

График 2 параллелен перпендикуляру, следовательно, скорость тела 2 никогда не будет равной 6 м/с.

Аналитический способ. Записать уравнение проекции скорости для каждого тела и найти при каком значении времени t, скорость станет равной 6 м/с.

Рис. 4