Решение. Третий закон Ньютона. B7

Условие

B7. Два цилиндра, связанные нитью, вращаются не смещаясь на центробежной машине. При этом оказалось, что первый цилиндр при вращении расположился на расстоянии 9 см от оси вращения. Какова длина нити, если масса второго цилиндра в три раза больше первого?

Решение

Цилиндры взаимодействуют друг с другом через соединяющую их нить. Так как цилиндры вращаются не смещаясь, то они обладают только центростремительным ускорением. Направим ось 0Х по направлению центростремительного ускорения первого цилиндра. Сила, с которой вторая тележка действует на первую, направлена вдоль этой оси. Тогда сила, с которой первый цилиндр действует на второй, и ускорение второго цилиндра будут направлены против этой оси (рис. 1).

Ускорение и сила связаны соотношением \(~a_x = \frac{F_x}{m}\) (1). Для первой тележки уравнение (1) примет вид \(~a_{1x} = \frac{F_{1x}}{m_1}\) , для второй – \(~a_{2x} = \frac{F_{2x}}{m_2}\) , где a_1x = a₁, F_1x = F₁, a_2x = -a₂, F_2x = -F₂ (рис. 1), a₁ = ω₁²∙r₁ , a₂ = ω₂²∙r₂, ω₁ = ω₂ – тележки вращаются на одной центробежной машине, m₂ = 3m₁, r₁ = 9 см = 9∙10^-2 м; l = r₁ + r₂ – длина нити.

При взаимодействии двух тележек F_1x = –F_2x. Тогда

\(~F_{1x} = m_1 \cdot a_{1x} = m_1 \cdot a_1 = m_1 \cdot \omega^2_1 \cdot r_1 ; F_{2x} = m_2 \cdot a_{2x} = -m_2 \cdot a_2 = -m_2 \cdot \omega^2_2 \cdot r_2\) ;

\(~m_1 \cdot \omega^2_1 \cdot r_1 = m_2 \cdot \omega^2_2 \cdot r_2 ; m_1 \cdot r_1 = m_2 \cdot r_2 ; r_2 = r_1 \cdot \frac{m_1}{m_2}\) ;

\(~l = r_1 + r_1 \cdot \frac{m_1}{m_2} = r_1 \cdot \left(1 + \frac{m_1}{m_2} \right) = r_1 \cdot \left(1 + \frac{1}{3} \right) = \frac{4}{3} r_1\) ; l = 1,2∙10^-1 м;

Рис. 1