Слободянюк А.И. Физика 10/18.5

Содержание книги

Предыдующая страница

§18. Переменный электрический ток

18.5 Индуктивность в цепи переменного тока. Индуктивное сопротивление.

Исследуем теперь влияние индуктивности элементов цепей на протекание в них переменного электрического тока. Для этого рассмотрим электрическую цепь, состоящую из последовательно соединенных резистора с активным сопротивлением R и соленоида с индуктивностью L, подключенных к источнику переменной ЭДС (Рис. 252). Активным сопротивлением обмотки соленоида и внутренним сопротивлением источника пренебрежем. Последовательность описания процессов, происходящих в данной цепи, остается такой же, как и в предыдущих разделах.

Зависимость силы тока от времени описывается уравнением для мгновенных значений, которое следуют из закона Ома - суммарная ЭДС в контуре равна сумме напряжений на элементах контура:

\(~\varepsilon + \varepsilon_{si} = IR\) . (1)

В записи этого уравнения учтено, что при протекание переменного тока через катушку в ней индуцируется ЭДС самоиндукции, равная

\(~\varepsilon_{si} = -LI'\) , (2)

где I′ - производная от силы тока по времени.

ЭДС самоиндукции в соответствии с правилом Ленца препятствует изменению силы тока в цепи. Поэтому для преодоления этого «сопротивляющегося» вихревого поля источник должен создавать в обмотке катушки потенциальное электрическое поле, разность потенциалов которого между концами обмотки должно быть по модулю равно ЭДС самоиндукции. Поэтому величину \(~U_L = -\varepsilon_{si}\) можно назвать напряжением на катушке индуктивности. Установим связь между силой тока в соленоиде и напряжением на нем. Для этого представим зависимость напряжения на катушке индуктивности от времени функцией

\(~U_L = U_{L0} \cos \omega t\) . (3)

Тогда для нахождения зависимости силы тока от времени необходимо решить уравнение

\(~U_{L0} \cos \omega t = -\varepsilon_{si} = LI'\) . (4)

Этому удовлетворяет функция

\(~I_L = \frac{U_{0L}}{L \omega} \sin \omega t = \frac{U_{0L}}{L \omega} \cos \left( \omega t - \frac{\pi}{2} \right)\) , (5)

что можно проверить простой подстановкой этой функции в исходное уравнение. Таким образом, амплитудное значение силы тока через соленоид связано с амплитудным значением напряжения простым соотношением

\(~I_{L0} = \frac{U_{0L}}{L \omega}\) , (5)

и между колебаниями силы тока и напряжения возникает разность фаз равная \(~\Delta \varphi = -\frac{\pi}{2}\). Эти результаты суммированы на рис. 253, где также представлена векторная диаграмма колебаний силы тока и напряжения.

Выражение (6) совпадает по форме с уравнение закона Ома, поэтому величину \(Z_L = L \omega\) разумно назвать индуктивным сопротивлением.

Физической причиной появления индуктивного сопротивления является ЭДС самоиндукции, препятствующая изменению тока через соленоид. Поэтому очевидно, что это сопротивление должно возрастать при возрастании частоты тока и при увеличении индуктивности цепи.

Проблема установления причинно-следственных связей между силой тока, ЭДС самоиндукции и напряжение в данном случае также относится к «философско-филологическим», то есть бессмысленной с физической точки зрения: электрическое поле, создаваемое источником, приводит к появлению переменного электрического тока, который посредством переменного магнитного поля создает ЭДС индукции, которая изменяет электрическое поле, которое влияет на протекание тока и так далее, как в сказке про попа и его собаку.

Так как между напряжением и силой тока существует разность фаз, равна \(~\Delta \varphi = -\frac{\pi}{2}\), то средняя мощность тока, протекающего через соленоид равна нулю. Следовательно, индуктивное сопротивление также является реактивным. На рис. 254 построены графики временных зависимостей напряжения, силы тока и мгновенной мощности тока через соленоид. Выделены промежутки времени, когда мощность тока положительна. В эти моменты энергия электрического тока переходит в энергию магнитного поля, создаваемого этим током в соленоиде. В других временных интервалах, когда индукция этого поля убывает, магнитное поле отдает свою накопленную энергию в цепь.

Наконец, построим векторную диаграмму для токов и напряжений в цепи, содержащей индуктивность (Рис. 252).

Так как сила тока в цепи одинакова, то построение диаграммы начнем именно с вектора, изображающего силу тока (Рис. 255). Затем строим векторы напряжений на резисторе U_R, параллельно вектору силы тока, и напряжения на соленоиде U_L перпендикулярно ему, в соответствии с рисунком 253. Сумма этих напряжений равна напряжению источника U. Используя теорему Пифагора и связь между амплитудами токов и напряжений, получим уравнение

\(~U^2_0 = U^2_{R0} + U^2_{L0} = (I_0 R)^2 + (I_0 L \omega)^2\) , (7)

из которого определяем амплитудное значение силы тока в цепи

\(~I_0 = \frac{U_0}{\sqrt{R^2 + (L \omega)^2}}\) . (8)

Из векторной диаграммы также определяем сдвиг фаз между силой тока и напряжением

\(~\operatorname{tg} = \frac{U_L}{U_R} = \frac{L \omega}{R}\) . (9)

Также с помощью векторной диаграммы несложно доказать, что и в данной цепи средняя мощность источника равна средней мощности теплоты, выделяющейся на резисторе.

Примечания

Следующая страница