Слободянюк А.И. Физика 10/6.1

Содержание книги

Предыдующая страница

§6. Законы сохранения в механике

В предыдущих параграфах мы фактически построили общую схему решения основной задачи динамики:

- целый ряд физических законов дают возможность рассчитывать силы, действующие на тела;

- второй закон Ньютона и известные силы позволяют получить уравнения, для определения ускорений тел;

- методы кинематики позволяют, в принципе, рассчитать законы движения тел, по их известным ускорениям.

В данном параграфе мы рассмотрим фундаментальные физические законы сохранения энергии, импульса и момента импульса, также позволяющие получать уравнения для описания движения тел. Хотя эти законы нами будут получены на основании законов Ньютона, их обобщения имеют большую область применения, фактически именно законы сохранения являются фундаментом современной физики. В некоторых случаях в качестве исходных аксиом механики (и других разделов физики) используют законы сохранения, тогда законы Ньютона могут рассматриваться как «теоремы», являющиеся следствием законов сохранения.

Рассматриваемые ниже законы сохранения тесно связаны со свойствами симметрии пространства и времени. Симметрия в данном случае понимается в предельно широком смысле – наличие преобразований, оставляющих все свойства рассматриваемой системы неизменными. Согласно знаменитой теореме Эмми Нетер каждой сохраняющейся величине соответствуют некоторая симметрия, и наоборот наличие любого элемента симметрии приводит к появлению сохраняющейся физической величины

6.1 Импульс тела. Закон сохранения импульса.

Уравнение 2 закона Ньютона для материальной точки (или для твердого тела, движущегося поступательно) имеет вид

\(~m \vec a = \vec F\) , (1)

здесь m - масса тела, \(~\vec a = \frac{\Delta \vec \upsilon}{\Delta t}\) - ее ускорение, \(~\vec F\) - сумма внешних сил, действующих на тело. Используя определение ускорения, уравнение (1) можно переписать в виде \(~\frac{\Delta (m \vec \upsilon)}{\Delta t} = \vec F\) . Векторная величина равная произведению массы тела на его скорость \(~\vec p = m \vec \upsilon\) называется импульсом тела . Тогда второй закон Ньютона может быть переформулирован следующим образом : скорость изменения импульса тела равна сумме внешних сил, действующих на тело

\(~\frac{\Delta \vec p}{\Delta t} = \vec F\) . (2)

На первый взгляд, эта новая формулировка закона полностью эквивалентна прежней. Но, она оказывается применимой в том случае, когда масса тела изменяется с течением времени. Данный вывод, не может быть подтвержден какими-либо теоретическими выкладками, обосновывается оно только результатами многочисленных экспериментов и экспериментально проверяемыми следствия из данного утверждения. Иными словами, уравнение (2) является обобщением экспериментальных данных.

В случае постоянной массы уравнения (2) и (1) полностью эквивалентны.

Часто произведение силы, на время ее действия \(~\vec F \Delta t\) называют импульсом силы. Используя это понятие, дадим еще одну эквивалентную формулировку второго закона Ньютона: изменение импульса тела равно импульсу суммарной внешней силы \(~\Delta \vec p = \vec F \Delta t\).

Рассмотрим теперь движение двух материальных точек, взаимодействующих только между собой (рис. 75), такую систему можно назвать изолированной, в том смысле, что нет взаимодействия с другими телами. По третьему закону Ньютона силы, действующие на эти тела, равны по величине и противоположны по направлению \(~\vec F_{12} = -\vec F_{21}\) . Эти силы можно выразить, используя второй закон Ньютона

\(~\vec F_{12} = m_1 \vec a_1 ; \vec F_{21} = m_2 \vec a_2\) .

Объединяя эти выражения, получим

\(~m_1 \vec a_1 + m_2 \vec a_2 = \vec 0\) .

Перепишем данное соотношение, используя понятие импульса\[~m_1 \vec a_1 = m_1 \frac{\Delta \vec \upsilon_1}{\Delta t} = \frac{\Delta (m_1 \vec \upsilon_1)}{\Delta t} = \frac{\Delta \vec p_1}{\Delta t}\] . Следовательно, \(~\frac{\Delta \vec p_1}{\Delta t} + \frac{\Delta \vec p_2}{\Delta t} = \vec 0\) , или \(~\frac{\Delta (\vec p_1 + \vec p_2)}{\Delta t} = \vec 0\) . Если изменение какой-либо величины равно нулю, то эта физическая величина сохраняется. Таким образом, приходим к выводу: сумма импульсов двух взаимодействующих изолированных точек остается постоянным, независимо от вида взаимодействия между ними. Этот вывод можно обобщить на произвольную изолированную систему материальных точек, взаимодействующих между собой.

Ранее в качестве одного из следствий законов Ньютона, мы получили уравнение, описывающее движение центра масс системы материальных точек

\(~m \vec a_C = \vec F\) , (3)

где m - полная масса системы, \(~\vec a_C\) - ускорение центра масс системы, \(~\vec F\) - сумма внешних сил, действующих на систему, если система изолирована, то сумма внешних сил равна нулю, поэтому в таком случае \(~m \vec a_C = \vec 0\) . Вспомним определение центра масс системы. Радиус-вектор центра масс определяется по формуле

\(~\vec r_C = \frac{m_1 \vec r_1 + m_2 \vec r_2 + m_3 \vec r_3 + \ldots}{m_1 + m_2 + m_3 + \ldots}\) .

Тогда произведение \(~m \vec a_C\) можно представить в виде

\(~(m_1 + m_2 + m_3 + \ldots) \vec a_C = m_1 \vec a_1 + m_2 \vec a_2 + m_3 \vec a_3 + \ldots = m_1 \frac{\Delta \vec \upsilon_1}{\Delta t} + m_2 \frac{\Delta \vec \upsilon_2}{\Delta t} + m_3 \frac{\Delta \vec \upsilon_3}{\Delta t} + \ldots = \frac{\Delta (m_1 \vec \upsilon_1 + m_2 \vec \upsilon_2 + m_3 \vec \upsilon_3 + \ldots)}{\Delta t} = \frac{\Delta \vec P}{\Delta t} = \vec 0\) , (4)

где \(~\vec P = m_1 \vec \upsilon_1 + m_2 \vec \upsilon_2 + m_3 \vec \upsilon_3 + \ldots\) - векторная сумма импульсов тел, входящих в систему, которую в дальнейшем будет называть импульс системы. Из полученного соотношения следует, что полный импульс замкнутой системы сохраняется, независимо от видов взаимодействий внутри системы. Это чрезвычайно важное утверждение носит название закона сохранения импульса.

Сделаем, два существенных замечания, касающихся проделанного вывода.

1. Полный импульс системы материальных точек равен произведению массы системы на скорость центра масс системы. Действительно,

   \(~\vec P = m_1 \vec \upsilon_1 + m_2 \vec \upsilon_2 + m_3 \vec \upsilon_3 + \ldots = m \frac{m_1 \vec \upsilon_1 + m_2 \vec \upsilon_2 + m_3 \vec \upsilon_3 + \ldots}{m_1 + m_2 + m_3 + \ldots} = m \vec V_C\) .

2. Пусть система материальных точек не является замкнутой. Допустим, что сумма внешних сил действующих на систему не равна нулю \(~\vec F \ne \vec 0\) , но проекция результирующей внешней силы на некоторую ось (например, X) равна нулю \(F_x = 0\) . Тогда уравнение (3) в проекции на эту ось будет иметь вид \(m a_{Cx} = 0\) , из которого следует, что проекция импульса системы на эту ось будет сохраняться. Итак, если сумма проекций внешних сил на некоторую ось равна нулю, то проекция импульса системы на эту ось сохраняется.

Так при движении системы материальных точек движет в поле тяжести земли, когда внешней силой является сила тяжести, направленная вертикально, будет сохраняться проекция импульса системы на любую горизонтальную ось.

Мы вывели закон сохранения импульса с помощью законов динамики Ньютона. Однако закон сохранения импульса является фундаментальным физическим законом. В теоретической физике показано, что он является следствием однородности пространства, в котором происходят все физические явления. Если вы уверены в том, что результаты физического эксперимента одинаковы, независимо от того в каком месте этот опыт поставлен, то вы должны признать закон сохранения импульса.

Задания для самостоятельной работы.

1. Движущийся кусок пластилина ударяется в стену и прилипает к ней. Куда «исчезает» импульс куска пластилина?

Примечания

Следующая страница