Слободянюк А.И. Физика 10/7.11

Содержание книги

Предыдующая страница

§7. Механика жидкости и газа

7.11 Движение вязкой жидкости по горизонтальной трубе.

Если по горизонтальной трубе постоянного сечения будет протекать жидкость реальная жидкость, для которой нельзя пренебречь силами вязкого трения, то давление в трубе не будет постоянным, произойдет перераспределение давления, которое будет существенно зависеть от свойств жидкости. Рассматривая проблемы возникновения сил вязкого трения, мы упоминали о такой характеристике жидкости как вязкость. Сейчас мы уточним это понятие.

Рассмотрим плоский поток жидкости, в пределах которого скорость \(~\vec \upsilon(z)\) различных слоев которого изменяется, оставаясь параллельной основанию потока (рис. 130). В реальной жидкости различные слои жидкости, имеющие разные скорости будут взаимодействовать между собой, то есть между слоями жидкости благодаря межмолекулярным взаимодействиям будут возникать силы вязкого трения – более медленный слой будет тормозить более быстрый. Важно отметить, что эти силы направлены параллельно слоям жидкости, то есть тангенциально к границе раздела (рис. 131). Величина этих сил также зависит от распределения скорости \(~\vec \upsilon(z)\) , где z - координата, ось которой направлена перпендикулярно скорости течения.

Силы вязкости определяется законом Ньютона : тангенциальная сила вязкого трения между движущимися слоями жидкости приходящаяся на единицу площади соприкосновения равна

\(~F = \eta \frac{\Delta \upsilon}{\Delta z}\) ,

в этой формуле коэффициент пропорциональности η - полностью определяется свойствами жидкости и называется динамическим коэффициентом вязкости. Вязкость может изменяться в широких пределах, она мала для легко подвижных жидкостей, таких как вода, бензин, эфир, и велика для малоподвижных жидкостей таких как масло, мед, смола и т.д. В целом строгое понятие вязкости вполне соответствует обычным представлениям о вязких и маловязких жидкостях. Модель движущейся жидкости, в рамках которой пренебрегают вязкостью, называется идеальной жидкостью.

Обратите внимание – в случае неподвижной жидкости силы взаимодействия между слоями всегда нормальны, в движущейся жидкости появляются тангенциальные составляющие!

Важно отметить, что силы вязкости не являются консервативными, наличие этих сил, их работа приводит к переходу механической энергии в тепловую, к потерям механической энергии.

При стационарном движении жидкости трубы на нее со стороны стенок будут действовать тормозящие силы вязкого трения. Поэтому скорость движения жидкости в поперечном сечении будет различной, установится некоторое стационарное распределение скоростей – скорость максимальна в центре трубы и приближается к нулю вблизи стенок (рис. 132).

Для расчета сил вязкого трения, действующих на жидкость необходимо, прежде всего, найти распределение скоростей жидкости внутри трубы (используя закон вязкого трения), после чего можно вычислить силу сопротивления движению, расход жидкости и так далее.

Для круговой цилиндрической трубы эта задача была решена французским физиком Ж. Пуазейлем, который установил, что расход жидкости пропорционален разности давлений на концах трубы Δp, четвертой степени радиуса трубы, обратно пропорционален ее длине

\(~Q = K \frac{r^4}{l} \Delta p\) , (1)

коэффициент пропорциональности зависит от вязкости жидкости. Если поперечный профиль отличен от кругового, то формула Пуазейля несколько видоизменяется, но расход жидкости остается пропорциональным разности давлений на концах трубы

\(~Q = \frac{\Delta p}{R}\) , (2)

в этой формуле коэффициент пропорциональности обозначен \(~\frac{1}{R}\) , тогда величина R - называется гидродинамическим сопротивлением. Гидростатическое сопротивление участка трубы длиной Δl можно представить в виде R = rΔl , где r - сопротивление единицы длины трубы, зависящее от вязкости жидкости, размеров и формы поперечного сечения трубы. С увеличением площади поперечного сечения гидродинамическое сопротивление уменьшается.

Внимательно посмотрим на формулу (2) – она достойна того. Если площадь поперечного сечения трубы постоянна, то скорости движения жидкости не изменяются вдоль трубы, то есть любая частица жидкости движется с постоянной скоростью, без ускорения. Тем не менее, для того чтобы жидкость двигалась с постоянной скоростью, к ней необходимо прикладывать постоянную внешнюю силу, то есть создавать разность давлений на концах трубы. Кажущееся противоречие легко снимается, если принять во внимание силы вязкого трения, действующие между различными слоями жидкости. Фактически внешнюю силу необходимо прикладывать, чтобы преодолеть силы вязкого трения. Конечно, суммарная сила, действующая на любую часть равномерно движущейся жидкости равна нулю.

Ситуация аналогична движению тела в вязкой среде, когда на него действует сила сопротивления (рис. 133), пропорциональная скорости движения F_сопр = βυ. Если к телу приложить постоянную внешнюю силу F, то тело будет двигаться со скоростью, пропорциональной внешней приложенной силе \(~\upsilon = \frac{F}{\beta}\) .

Итак, при движении вязкой жидкости по трубе внутри устанавливается распределение давлений – давление линейно падает при смещении вдоль направления движения жидкости (рис.134). Подчеркнем, что в данном случае, приложенная разность давлений является причиной движения жидкости – при стационарном движении происходит установление нужного распределения давлений вдоль трубы.

Можно сказать, что для преодоления гидростатического сопротивления R необходимо приложить разность давлений (или на сопротивлении происходит падение давления) Δp = RQ.

Направим координатную ось X вдоль трубы. Пусть в точке с координатой x = 0 давление равно p₀. Применим формулу Пуазейля для слоя жидкости от x = 0 до произвольного значения координаты x. Из формулы (2) следует, что

\(~p_0 - p(x) = QR = Qrx\) ,

где p(x) - давление жидкости в сечении с координатой x.

Таким образом, распределение давления вдоль трубы при движении вязкой жидкости представляет собой линейную зависимость p(x) = p₀ - Qrx. Коэффициент наклона графика данной зависимости \(~|\frac{\Delta p}{\Delta x}|\) возрастает с ростом скорости течения жидкости и гидродинамического сопротивления (рис.135).

В установившемся режиме скорость изменения давления вдоль трубы \(~\frac{\Delta p}{\Delta x}\) остается постоянной вдоль трубы. Заметим, что отношение \(~\frac{\Delta p}{\Delta x}\) имеет явный физический смысл. Величина F = SΔp - есть суммарная сила давления, действующая на слой жидкости толщиной Δx; следовательно, величина \(~f = \frac{F}{S \Delta x} = \frac{\Delta p}{\Delta x}\) - есть суммарная сила давления, действующая на единицу объема жидкости – то есть объемная плотность силы давления.

Выделим в движущейся жидкости небольшой параллелепипед, одно из ребер которого длиной l параллельно скорости жидкости, площадь грани перпендикулярной скорости равна S (рис. 136). Пусть разность давлений между противоположными гранями этого объема равна Δp , тогда произведение ΔF = Δp'S равно суммарной силе давления на жидкость внутри выделенного объема, а величина ΔA = Δp'Sl равна работе, которую совершают силы давления внутри данного объема. Наконец, отношение \(~\frac{\Delta A}{Sl} = \Delta p\) с одной стороны разность давлений, с другой – работа сил давления, которая совершается при перетекании жидкости через данный объем.

Полученное распределение давления соответствует стационарному течению жидкости. Качественно рассмотрим процесс установления движения. Пусть длинная горизонтальная труба полностью заполнена жидкостью, с одной стороны внутри трубы расположен поршень (рис. 137). В некоторый момент времени к поршню начинают прикладывать постоянную силу. Вся жидкость в трубе сразу прийти в движение не сможет. Непосредственно перед поршнем возникнет область сжатия, которая начнет распространяться по трубе, приводя в движение все более удаленные области жидкости внутри трубы. Скорость распространения области сжатия совпадает со скоростью звука в жидкости. Наконец, по прошествии некоторого небольшого промежутка времени в трубе установится такое распределение давления, которое обеспечит постоянство скорости вдоль трубы. Именно этот установившийся режим мы и рассматриваем.

Задание для самостоятельной работы.

1. Представьте расход жидкости в виде \(~Q = \overline {\upsilon} S\) , где S - площадь поперечного сечения трубы, \(~\overline {\upsilon}\) - усредненная по поперечному сечению скорость течения. Используя формулу Пуазейля для круглой трубы (1), выразите среднюю скорость течения жидкости через разность давлений, а также через объемную плотность силы давления. Что вам напоминают полученные формулы?
2. Постройте примерный график распределения давления в трубе переменного сечения (состоящей из двух сочлененных труб разного радиуса) при движении в ней вязкой жидкости.

Примечания

Следующая страница