KC. Всемирное тяготение

Всемирное тяготение

Закон всемирного тяготения. Две материальные точки притягиваются друг к другу с силами, значения которых прямо пропорциональны произведению масс этих точек и обратно пропорциональны квадрату расстояния между ними (рис. 1):

\(~F = G \cdot \dfrac{m_1 \cdot m_2}{r^2}\) ,

где G – гравитационная постоянная, равная 6,67·10^-11 Н·м²/кг² ; F₁₂ — сила, с которой на первое тело действует (притягивает) второе; F₂₁ — сила, с которой на второе тело действует (притягивает) первое. По третьему закону Ньютона эти силы равны по модулю, противоположны по направлению и направлены вдоль прямой, соединяющей эти тела, т.е. F₁₂ = F₂₁ = F

Рис. 1

• Применять данную формулу можно только для материальных тел и для тел сферической формы (и для их комбинации).

• При расчетах вам нужны следующие математические правила:

\(~ x \cdot 10^a \cdot y \cdot 10^b = x \cdot y \cdot 10^{a+b}, \)

\(~ \dfrac{ x \cdot 10_a }{ y \cdot 10^b } = \dfrac{ x }{ y } · 10^{a-b}, \)

\(~ \left( x \cdot 10^a \right)^n = x^n · 10^{n \cdot a}. \)

Например \[~1,2 \cdot 10^{-11} \cdot \dfrac{ \left( 5 \cdot 10^{10} \right)^2 }{ 4 \cdot 10^{15} } = \dfrac{ 1,2 \cdot (5)^2 }{ 4 } · 10^{ - 11 + 10 · 2 – 15 } = 7,5 · 10^{-6}. \]

Частным видом силы всемирного тяготения является сила притяжения тел к Земле или к другой планете, которую называют силой тяжести.

• Обозначается F_т или m∙g, где g — ускорение свободного падения планеты; m — масса тела. Измеряется в Ньютонах (Н).

• Ускорение свободного падения у поверхности Земли g = 9,81 м/с². Если нет специальных оговорок в условии, то принимаем g = 10 м/с².

• Сила тяжести направлена вертикально вниз (рис. 2, а), на планете — к центру планеты (рис. 2, б).

\(~F_т = G \cdot \dfrac{M_{пл} \cdot m}{r^2}\) ,

где F_т – сила тяжести (сила притяжения) на планете (Н); G – гравитационная постоянная, равная 6,67·10^-11 Н·м²/кг² ; M_пл – масса планеты, табличная величина (кг); m – масса тела (кг); r = R_пл + h – расстояние от центра планеты до тела (м); R_пл – радиус планеты, табличная величина (м); h – высота тела над поверхностью планеты (м) (рис. 2).

• 

  а
• 

  б

Рис. 2

Для расчета силы тяжести тела F_т и ускорения g_пл свободного падения на некоторой высоте h и на других планетах применяют следующие формулы:

\( ~F_т = G \cdot \dfrac{ M_{пл} \cdot m }{ r^2 } \), \(~g_{пл} = G \cdot \dfrac{M_{пл}}{r^2}\) ,

M_пл – масса планеты, табличная величина (кг); r = R_пл + h – расстояние от центра планеты до тела (м); R_пл – радиус планеты, табличная величина (м); h – высота тела над поверхностью планеты (м) (рис. 3).

Рис. 3

• Формулу \(g_{пл} = G \cdot \dfrac{M_{пл}}{r^2}\) несложно вывести, если приравнять две формулы для силы тяжести \( F_т = G \cdot \dfrac{ M_{пл} \cdot m }{ r^2 },\;\; F_т = m \cdot g_{пл}. \)

Искусственный спутник (ИС) — это объект, созданный руками человека и движущийся вокруг данного небесного тела.

Скорость ИЗ можно рассчитать по формуле

\( ~\upsilon = \sqrt{ G \cdot \dfrac{ M_{пл} }{ r } }, \)

где G — гравитационная постоянная, M_пл — масса планеты, табличная величина, r = R_пл + h — расстояние от центра планеты до ИС, R_пл — радиус планеты, табличная величина, h — высота ИС над поверхностью планеты (рис. 4).

• Данную формулу несложно вывести, если расписать второй закон Ньютона для движения по окружности\[~m \cdot a_{c} = F_{т} ,\; \; \; \; m \cdot \dfrac{\upsilon ^{2} }{r} = G\cdot \dfrac{M_{пл} \cdot m}{r^{2} } .\]

Рис. 4

Первая космическая скорость для данной планеты -- это скорость, которую нужно сообщить спутнику, чтобы он двигался по круговой орбите вблизи поверхности планеты, т.е. h = 0.