Kvant. Вариационные принципы

Фабрикант В.А. Вариационные принципы //Квант. — 1992. — № 5. — С. 44-46.

По специальной договоренности с редколлегией и редакцией журнала "Квант"

Сталкивались ли вы когда-нибудь с двумя различными — но правильными! — описаниями одного и того же физического явления? Если нет, то так называемые вариационные принципы, играющие очень важную роль в современной физике, могут послужить хорошей тому иллюстрацией.

Вариационные принципы имеют многовековую историю. Вот лишь некоторые ее этапы.

Герон Александрийский (I век н. э.), популяризатор науки, инженер, изобретатель автомата для продажи священной воды, таксометра, паровой турбины и других любопытных устройств, сформулировал следующий оптический постулат: «Скажу, что из. всех лучей, падающих из данной точки и отражающихся в данную точку, минимальны те, которые от плоских и сферических зеркал отражаются под равными углами». Надо полагать, что это одна из первых формулировок вариационного принципа.

Рис. 1

Для плоского зеркала справедливость своего постулата Герон доказал с помощью простого геометрического построения. Пусть A — источник света, B — глаз, MD — зеркало, AFB — действительный путь света, AKB — какой-либо другой возможный путь света, испытавшего отражение (рис. 1). Продолжим луч BF до встречи в точке L с продолжением перпендикуляра AM. Так как угол падения AFG равен углу отражения GFB, то AM = ML и, следовательно, AF = FL. Тогда AF + FB = BF + FL, т. е. AFB — кратчайший путь. Для сферических зеркал постулат Герона не всегда верен — в некоторых случаях путь света оказывается минимальным, а в некоторых — максимальным.

В XVII веке знаменитый математик П. Ферма (по профессии юрист) сформулировал принцип, представляющий обобщение утверждения Герона. Согласно этому принципу, свет всегда идет по пути, требующему для своего прохождения минимальное время. Очевидно, что для случая отражения света принцип Ферма эквивалентен постулату Герона. Принцип Ферма сохраняет справедливость и для случая преломления света на границе раздела двух сред, тогда как постулат Герона здесь становится неприменимым. Это можно доказать, используя закон преломления света. Заметим, что если обратить последовательность рассуждений, то из принципа Ферма нетрудно вывести законы отражения и преломления света. По существу это и оправдывает применение к утверждению Ферма термина «принцип», а к утверждению Герона — «постулат».

Важно подчеркнуть, что Ферма считал скорость света в более плотной среде меньшей, чем в менее плотной. А вот современник Ферма, философ и математик Р. Декарт исходил из противоположного соотношения скоростей. Он вывел закон преломления, рассматривая свет как поток частиц, подчиняющихся законам механики. Между Ферма и Декартом возникла острая полемика, продолжавшаяся до самой смерти Декарта. Строго говоря, до опытов Фуко по прямому измерению скорости света в различных средах (середина XIX века) правота Ферма не имела прямых доказательств.

Рис. 2

На первый взгляд, получение действительных изображений в оптических системах противоречит принципу Ферма — ведь между точкой (А) и ее изображением, например в линзе (А’), проходит бесконечное число лучей различной формы и длины (рис. 2). Однако все дело заключается в том, что время прохождения светом всех лучей одно и то же. В стекле линзы свет идет медленнее, чем в воздухе, поэтому, хотя крайние лучи имеют большую длину, чем центральные, времена их прохождения выравниваются. Из требований равенства этих времен можно непосредственно получить формулу линзы, не используя при этом закона преломления света.

Итак, на примере законов распространения света можно проиллюстрировать основную идею вариационного принципа. Она состоит в следующем: физические явления происходят таким образом, что некоторая величина, при рассмотрении явления в целом, принимает экстремальное — максимальное или минимальное — значение.

В механике вариационные принципы ведут свою историю с конца XVII века, когда И. Бернулли опубликовал заметку, озаглавленную «Новая задача, к разрешению которой приглашаются математики». Это была задача о брахистохроне, или кривой наискорейшего спуска: даны две точки в вертикальной плоскости, надо найти вид кривой линии, спускаясь по которой (без трения) тяжелое тело прошло бы путь между этими точками за наименьшее время. Решение этой «столь прекрасной и до сих пор неслыханной задачи» было дано самим Бернулли, а также Г. Лейбницем, И. Ньютоном и другими учеными. Бернулли в своем решении исходил из аналогии между распространением луча света в среде с непрерывно изменяющимися по высоте показателем преломления и движением тела под действием силы тяжести. Луч в такой среде имеет криволинейную ферму, аналогичную траектории движения тела.

Работа Бернулли послужила началом весьма плодотворных аналогий между оптикой и механикой, приведших позднее к результатам, которые легли в основу современной физики.

Следующий шаг по пути развития вариационных принципов механики сделал в первой половине XVIII века П. Мопертюи, в молодости служивший драгунским офицером, а позднее назначенный прусским королем Фридрихом II президентом Берлинской Академии наук.

Мопертюи, подобно Декарту, рассматривал свет как поток частиц, подчиняющихся законам механики, но при этом выдвинул новую идею — так называемый принцип наименьшего действия. Согласно этому принципу, для реального пути света «количество действия должно быть наименьшим». Под «действием» Мопертюи понимал произведение скорости на путь. Потребовав для частиц света минимальности действия, он вывел законы отражения и преломления. Причем Мопертюи использовал соотношение для скоростей света в различных средах такое же, как и Декарт, т. е. противоположное соотношению Ферма. (История принципа Мопертюи еще раз показывает, что к правильному результату можно прийти и на основе неверных посылок. В данном случае ошибкой было уподобление света материальным частицам классической механики.)

Великие математики и механики Л. Эйлер, Ж. Лагранж и У. Гамильтон придали понятию «действие» то содержание, которое используется и в настоящее время. Произведение скорости на путь легко преобразовать в произведение квадрата скорости на время, а если ввести еще постоянный множитель, равный массе тела, деленной на два, то мы получим произведение кинетической энергии на время. Это и есть современное определение понятия «действие» в отсутствие сил. При наличии же сил «действие» равно среднему значению разности между кинетической и потенциальной энергиями, умноженному на время движения. Был создан специальный математический аппарат для решения задач, связанных с применением принципа наименьшего действия. Этот аппарат получил название вариационного исчисления.

Понятие «действие» приобрело в физике особое значение после введения М. Планком, основателем квантовой физики; понятия кванта действия, равного фундаментальной постоянной h. Наличие h в каком-либо физическом соотношении свидетельствует о том, что оно может быть выведено только из квантовых представлений. Сопоставление принципов Ферма и Мопертюи натолкнуло Л. де Бройля на идею о наличии у частиц вещества волновых свойств, что вскоре было подтверждено на опыте. Формула для длины волны де Бройля содержит постоянную h.

В связи с идеей де Бройля, один из создателей квантовой механики Э. Шредингер провел глубокий анализ вариационных принципов оптики и механики, приведший к составлению знаменитого уравнения квантовой механики, носящего теперь его имя.

В наши дни вариационные принципы широко применяются не только в оптике и механике, но также и в электродинамике и термодинамике.