Kvant. Монгольфьер

Варламов С. Задача про «Монгольфьер» // Квант. — 2011.— № 2. — С. 42

По специальной договоренности с редколлегией и редакцией журнала "Квант"

Дядя федор решил сделать шар для полетов в воздухе и назвал его «Монгольфьер». Но прежде он проводит дома испытания уменьшенной модели такого шара, склеенной из папиросной бумаги с поверхностной плотностью 0,04 кг/м² . Модель имеет объем 1 м³ и массу оболочки m = 0,19 кг. Шар подвешивается к потолку на нитке. Для заполнения шара горячим воздухом дядя Федор использует горючее вещество из папиной коллекции - этиловый спирт (C₂H₅OH) с удельной теплотой сгорания в воздухе λ = 2,7 · 10⁷ Дж/кг . Пренебрегая теплоемкостью оболочки и потерями тепла через стенки шара, он оценивает минимальное количество этилового спирта, которое необходимо сжечь, чтобы шар перестал натягивать нитку, на которой висит. Считается, что давление атмосферного воздуха p = 10⁵ Па, его температура t₀ = +20 °C.

Схему химической реакции горения этилового спирта в воздухе можно представить в виде такого уравнения:

\( C_2 H_2 O H + 3O_2 + 12N_2 = 2CO_2 + 3H_2O + 12N_2 + Q ,\)

где Q - количество теплоты, выделившееся при сгорании спирта. В написанном уравнении присутствует азот (в правильном соотношении к кислороду), хотя в самой химической реакции он не участвует (азот составляет примерно 80% состава воздуха, а кислород - только около 20%). В процессе полного сгорания спирта из каждых трех молекул кислорода (слева от знака равенства) образуются пять молекул продуктов сгорания (справа от знака равенства). До реакции в газообразном состоянии находилось пятнадцать молекул, а после реакции их стало семнадцать. Будем считать, что тепловая энергия выделилась в воздухе, который состоит только из двухатомных молекул и имеет среднюю молярную массу М = 0,029 кг/моль.

Плотность материала оболочки шара значительно больше плотности окружающего шар воздуха, которая равна \(\rho_0 = \dfrac{Mp}{RT_0} \approx 1,2 \dfrac{кг}{м^3}\) . Чтобы шар перестал натягивать нитку, плотность р нагревшегося воздуха вместе с продуктами сгорания спирта внутри шара и объем v этой нагретой части воздуха должны соответствовать неравенству

\(( \rho_0 - \rho ) V \ge m .\)

При этом температура воздуха внутри шара должна стать равной

\(T = T_0 \dfrac{\rho_0}{\rho}.\)

Масса нагревшегося воздуха равна ρV , и нагрелся этот воздух на \(\Delta T = T_0 \dfrac{\rho_0 - \rho}{\rho}.\) в процессе с постоянным давлением, т.е. с молярной теплоемкостью C_p . Следовательно, минимальное необходимое количество теплоты равно

\(Q = C_p \dfrac{\rho V}{M} \Delta T = \dfrac{C_p m T_0}{M}\)

Для воздуха C_p = 7R/2. Отсюда минимальное количество спирта, которое нужно сжечь, составляет

\(m_{сп} = \dfrac{Q}{\lambda} = \dfrac{7 R m T_0}{2 M \lambda} = \dfrac{7 \cdot 8,31 \cdot 0,19 \cdot 293}{2 \cdot 29 \cdot 10^{-3} \cdot 2,7 \cdot 10^7 } кг \approx 2 \cdot 10^{-3} кг.\)

Получается, что минимальное количество спирта пропорционально произведению температуры окружающего воздуха и массы груза, который нужно поднять. Это количество не зависит от того, какая часть воздуха внутри шара прогрелась, лишь бы не было тепловых потерь наружу.

Теперь время задать главный вопрос: а хватит ли запасов папиной коллекции - приблизительно 0,8 л спирта, - чтобы оторвать от земли дядю Федора, если его масса 50 кг, а суммарная масса оболочки и корзины спроектированного им полномасштабного шара «Монгольфьер» равна массе мальчика, т.е. общая поднимаемая масса составляет М = 100 кг?

Для отрыва от земли дяди Федора вместе с корзиной и оболочкой шара «Монгольфьер» потребуется в M/m раз больше топлива, т.е. 1,1 кг спирта, а в папиной коллекции всего около 0,8 кг. Вывод: запасов в папиной коллекции не хватит.

Но у дяди Федора есть коварная (для папы) мысль: провести эксперимент зимой, тогда температура T₀ будет меньше, и топлива тоже потребуется меньше!

Заметим, что в наших расчетах мы с дядей Федором не рассматривали нагрев оболочки и тепловые потери через оболочку. Для анализа этих явлений и учета их влияния на результат эксперимента можно воспользоваться подсказками. Они есть, например, в статье «Путешествие на воздушном шаре», опубликованной в третьем номере «Кванта» за 2004 год.