Kvant. Над ртутной планетой

Стасенко А.Л. Над далекою ртутной планетой //Квант. — 1994. — № 1. — С. 36-38.

По специальной договоренности с редколлегией и редакцией журнала "Квант"

Почему обязательно далекой? А чтобы там было достаточно холодно, скажем, температура была бы не выше 4 градусов по Кельвину. А почему ртутной? Да потому что ртуть при таких температурах становится уже сверхпроводником, а из этого наверняка можно получить много удовольствий.

Например, давайте убедимся в том, что над такой планетой можно парить на витке с током — конечно, создающим магнитное поле. При этом будем параллельно проводить аналогию с более знакомыми примерами из электростатики.

Рис. 1

Известно, что линии напряженности \(~\vec E\) электрического поля точечного заряда являются радиальными, а линии индукции \(~\vec B\) Магнитного поля бесконечно прямого тока — концентрическими окружностями (рис. 1, а). Причем «количество» этих линий (мера «интенсивности» полей) пропорционально соответственно величинам заряда q и тока I.

Поднесем к заряду q такой же по величине заряд противоположного знака (рис. 1,6). Тогда все силовые линии поля \(~\vec E\), порожденного первым зарядом, замкнутся на втором. Легко видеть, что существует плоскость, проходящая на одинаковом расстоянии h от обоих зарядов, во всех точках которой вектор напряженности электрического поля \(~\vec E\) перпендикулярен этой плоскости (на рисунке 1, б слева такое построение показано для одной точки А).

Аналогично, к нашему прямому проводу с током поднесем провод с таким же по величине, но противоположно направленным током. Тогда картина линий индукции магнитного поля \(~\vec B\) примет вид, показанный на рисунке 1, б справа, а в плоскости между двумя токами возникнет поле \(~\vec B\), параллельное этой плоскости. При этом «количество» линий полей \(~\vec E\) и \(~\vec B\), порожденных зарядом q и током I, не изменяется — эти линии лишь деформируются.

Теперь давайте к нашему исходному заряду вместо заряда q поднесем снизу на расстояние h плоский проводник, например металлический лист (рис. 1, в). Внутри проводника напряженность поля равна нулю — иначе тек бы ток до тех пор, пока заряды не перераспределились бы так, чтобы это поле все-таки исчезло. Вот и установилось такое распределение заряда на поверхности проводника, что все линии поля \(~\vec E\), порожденные исходным зарядом, закончились на этой плоской поверхности. Это означает, прежде всего, что этот поверхностный заряд отрицателен. Далее, касательной составляющей вектора \(~\vec E\) у поверхности проводника быть не должно, иначе опять-таки вдоль поверхности потек бы ток; значит, поле должно подходить к проводнику по нормали, перпендикулярно.

Эти рассуждения приводят к мысли о том, что поле над плоским проводником будет в точности такое, как и в предыдущем случае двух зарядов противоположных знаков, расположенных на расстоянии 2h друг от друга. В этом и состоит идея так называемого метода зеркального отражения: поле системы «заряд — плоский проводник» точно такое, как если бы оно было порождено самим зарядом q и его зеркальным (мнимым) отражением —q относительно плоскости, ограничивающей проводник.

Аналогично, вместо тока —I поднесем к нашему току I полубесконечный сверхпроводник (см. рис. 1,«справа). Сверхпроводник интересен не только тем, что созданный в нем ток течет сколь угодно долго без потерь на нагревание. Он обладает еще одним интересным свойством: при внесении его в магнитное поле на поверхности сверхпроводника возникает такая система токов, что магнитное поле в объеме самого сверхпроводника полностью отсутствует (В = 0). Иными словами, сверхпроводник вытесняет магнитное поле, что очень похоже на вытеснение электрического поля проводником (см. рис. 1, в слева).

Как это происходит — отдельный разговор, мы же просто примем как данное, что внутри сверхпроводника стационарного магнитного поля существовать не может, так же как проводник не терпит внутри себя стационарного электростатического поля.

Итак, к бесконечному прямому току поднесли на расстояние h сверхпроводник с плоской поверхностью. По аналогии с электростатикой, возникшее суммарное магнитное поле можно построить как суперпозицию полей, порожденных исходным током и его зеркальным изображением —I, что мы уже и сделали выше для двух реальных токов. Правда теперь реальные токи текут по поверхности проводника, но их сумма в точности равна —I.

А какие силы действуют на заряд q и ток I? Нечего и говорить, что противоположные заряды притягиваются, а противоположно направленные токи отталкиваются — это показано на рисунке 1 жирными стрелками. Вот это отталкивание тока от сверхпроводника и дает надежду на возможность «парения» над ртутной планетой.

Возникновение этих сил можно попытаться понять и с энергетической точки зрения. Плотность энергии электрического поля, как известно, пропорциональна квадрату напряженности поля: w_E ~ E². Следовательно, она растет с возрастанием «густоты» линий напряженности поля \(~\vec E\), и в нашем примере энергия поля концентрируется в пространстве между зарядом и проводником. Но размерность плотности энергия совпадает с размерностью давления:

[w_E] = Дж / м³ = Н·м / м³ = Н / м² .

Уже это открывает возможность объяснения сил, возникающих в неоднородных полях, изменением в пространстве плотности энергии.

Аналогично и с магнитным полем. Если мы попытаемся провод приблизить к полупространству, заполненному сверхпроводником, то же самое число линий индукции станет пересекать отрезок h уже меньшей длины. Значит, возрастет «густота» этих линий на участке h, т.е. возрастут индукция магнитного поля В, плотность энергии магнитного поля w_M ~ B² (также, как w_E ~ E²), «давление» поля и, в конце концов, сила отталкивания, действующая на провод вертикально вверх. Собственно, ради последнего утверждения и была сказана предыдущая длинная фраза. Но многим, вероятно, и без этой фразы понятно, что с уменьшением расстояния между двумя противоположными токами сила отталкивания должна возрастать, так же как при сближении двух противоположных зарядов растет сила их взаимного притяжения. Только закон изменения другой\[~F_E \sim - \frac{1}{h^2}\],a \(~F_M \sim + \frac{1}{h}\).

Рис. 2

Изобразим качественно зависимость этой силы отталкивания кривой F_M(h) (рис. 2). Нарисуем еще силу тяжести проводника с током в виде горизонтальной линии F_T (она ведь не зависит от h), которая пересечет F_M в точке, соответствующей высоте h_*. Если уменьшить высоту: h < h_*, то сила отталкивания, связанная с магнитным полем, возрастет, станет больше силы тяжести, и провод будет двигаться вверх. Если увеличить высоту: h > h_*, то сила отталкивания станет меньше силы тяжести, и провод будет двигаться вниз. Значит, высота h_* есть не только положение равновесия, но, что самое важное, положение устойчивого равновесия. Если увеличим ток в проводе — он поднимется вверх, плавно выключим ток — провод столь же плавно опустится на поверхность планеты.

Рис. 3

Разумеется, бесконечно длинный провод — это очень неудобно. Сделаем замкнутый контур, например квадрат или кольцо, в котором течет ток, — его сечение изображено на рисунке 3. Там же дана картина магнитного поля в плоскости чертежа и указаны направления действующих сил.

Все эти рассуждения применимы, конечно, не только для далекой ртутной планеты, но и для не столь далекой свинцовой (температура перехода в сверхпроводящее состояние 7,2 К) и к случаю высокотемпературного сверхпроводника (~100 К), над которыми можно столь же успешно парить на витке с током, не затрачивая энергии. Эта же магнитная подвеска может быть применена, наконец, и для транспорта на Земле, что гораздо важнее, чем на далекой планете.